时间：120分钟 满分：150分 题号 得分 一 二 三 总分
一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每道小题的四个选项中，只有一个选项正确)
1．在△ABC中，AB＝AC.若∠A＝40°，则∠C的度数是( ) A．70° B．55° C．50° D．40°
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.3，4，5 B．1，2，3 C．6，7，8 D．2，3，4 3．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是( ) A．HL B．ASA C．SAS D．AAS
第3题图 第4题图
4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是( ) A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
5．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( ) A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a与b相交 D．a⊥b
6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC＝8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h为( )
8
A.3m B．4m C．43m D．8m 3
第6题图 第7题图
7．如图，若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离PM＝5cm，N是射线OB上的任一点，则关于PN的长( )
A．PN＞5cm B．PN＜5cm
C．PN≥5cm D．PN≤5cm
8．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( ) A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
9．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A．48° B．36° C．30° D．24°
第9题图 第10题图
10．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝BC，∠B＝40°，点D，E分别在AB，BC边上，将该纸片沿直线DE折叠，点B恰好落在点C处，则∠ACD的度数为( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD于点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
第11题图 第12题图
12．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AMN的周长为( )
A．30 B．36 C．39 D．42
13．如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )
14．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰三角形有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
15．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…，若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为( )
70°70°A.n B.n＋1 2270°70°
C.n－1 D.n＋2 22
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
16．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是____________________________________________，这个逆命题是__________命题．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．
第17题图 第18题图
18．如图，△ABC中，D是BC上一点，若AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝________°.
19．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为________．
第19题图 第20题图
20．如图，直线m，n交于点B，且夹角为50°，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C使△ABC是等腰三角形，这样的C点有________个．
三、解答题(本大题共7小题，各题分值见题号后，共80分)
21．(8分)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.
22．(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC的平分线AE交BC于点E，∠ACB的平分线CD交AE于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
23．(10分)如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.
(1)求证：∠PCD＝∠PDC； (2)求证：OP垂直平分线段CD.
24．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD； (2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
25．(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求： (1)AD的长；
(2)△ABC的面积．
26．(14分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点． (1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．
27．(16分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ.
(1)求点B的坐标；
(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．
参考答案与解析
1．A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.C 9．A 10.C 11.D 12.A 13.B 14.D 15．C 解析：∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∴∠A1A2B1＝∠A1B1A2.又∵∠A1A2B1＋∠A1B1A2＝∠BA1A，∴∠B1A2A1＝
∠BA1A
＝35°；同2
11135°
理可得∠B2A3A2＝∠B1A2A1＝×35°＝17.5°，∠B3A4A3＝×17.5°＝，∴∠An－1AnBn－1＝
222470°
－.故选C. 2n1
16．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真
17．18 18.52 19.3
20．4 解析：∵△ABC为等腰三角形，∴应分以下三种情况．(1)当以C为顶点时，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知点C只能在直线m的上方，有一个点；(2)当以A为顶点时，则有AC＝AB，由两直线夹角为50°可知点C只能在直线m的上方，有一个点；(3)当以B为顶点时，则有AB＝CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线m的下方，有两个点．综上可知满足条件的C点有4个．
21．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1分)∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(4分)在△BEF∠BEF＝∠CFD，
和△CFD中，BE＝CF，∴△BEF≌△CFD(ASA)，(7分)∴BF＝CD.(8分)
∠B＝∠C，22．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.(3分)∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC
－∠DEC＝125°－90°＝35°.(5分)∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.(6分)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.(8分)
23．证明：(1)∵P是∠AOB平分线上的一点，且PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC.(4分)
(2)在Rt△OCP和Rt△ODP中，∵OP＝OP，PC＝PD，∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)，(7分)∴OC＝OD.又∵PC＝PD，则点O和点P均在线段CD的垂直平分线上，∴OP垂直平分线段CD.(10分)
24．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.(3分)在△BED与△CFD中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(6分)
(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(8分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.在Rt△BED中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(10分)∴△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝3BC＝12.(12分)
25．解：(1)∵∠C＝45°，AD⊥BC，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2分)∵AC2＝AD2＋CD2，
∴62＝2AD2，∴AD＝32.(5分)
(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(7分)∵AB2＝BD2＋AD2，111∴(2BD)2＝BD2＋AD2，∴BD＝6.(10分)∴S△ABC＝BC·AD＝(BD＋DC)·AD＝×(6＋
22232)×32＝9＋33.(12分)
26．解：(1)△DEF是等边三角形．(2分)证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF＝ED＝FE.(5分)∴△DEF是等边三角形．(6分)
(2)AD＝BE＝CF成立．(8分)证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(10分)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.(14分)
27．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB1＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝OB＝1，OC＝
2OB2－BC2＝3，∴点B的坐标为(3，1)．(4分)
(2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5分)理由如下：∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB，∴∠PAO＝∠QAB.(6分)在△APO与△AQB中，AP＝AQ，
∠PAO＝∠QAB，∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8分) AO＝AB，
(3)如图②，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方．∵AB∥OQ，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，∴∠OBQ＝90°－∠BOQ＝30°.又∵OB＝OA＝2，1
∴OQ＝OB＝1，∴BQ＝3.(10分)由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝3，∴点P
2的坐标为(－3，0)．(16分)
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