奇数与偶数
【专题解析】 一、基本概念。
能被2整除的数叫偶数（包含0），不能被2整除的数叫奇数。正整数可以分为奇数和偶数两大类。 二、奇数和偶数的运算性质。
奇数±奇数=（ ） 举例： ，
偶数±偶数=（ ） 举例： ， 奇数±偶数=（ ） 举例： ，
偶数×偶数=（ ） 举例： ， 奇数×偶数=（ ） 举例： ， 偶数×奇数=（ ） 举例： ，
奇数个奇数的和（或差）为（ ） 举例： ， 偶数个奇数的和（或差）为（ ） 举例： ，
任意个偶数的和为（ ） 证明：
若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，则积为（ ） 证明：
如果所有的因数都是奇数，则积为（ ） 证明：
【奥数点拨】
【例1】下面各题的答案是奇数还是偶数？
（1）奇数×奇数×奇数 （2）偶数＋奇数×偶数＋5
【举一反三】若n为偶数，判断下列各数的奇偶性。
3n 2n 2n＋1 3n＋1 5n＋2
【例2】1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008的和是奇数还是偶数？
【举一反三】1＋2＋3＋4＋……＋2003的和是奇数还是偶数？
【例3】1×2×3×……×2007×2008是奇数还是偶数？
【举一反三】61×33×a×1999×20085为奇数，则a是奇数还是偶数？
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【例4】一间会议室有9盏灯，从1~9号依次编号，开始时，只有编号2、6、9的灯是亮的，一个同学按1到9，再又从1到9的顺序拉开关，一共拉300下，问此时编号是几的灯不是亮的？
【举一反三】礼堂里有10盏灯，每盏灯由一根灯绳控制，拉一下亮，再拉一下熄。10个学生依次进入礼堂，第1个学生把1的倍数的灯绳拉一下，灯全亮了，第2个学生把2的倍数的灯绳拉一下，第3个学生把3的倍数拉一下，……第10个学生把10的倍数的灯绳拉一下。最后，礼堂里哪些灯是亮的？
【例5】小红买 一本有99张纸的练习本，小王依次将练习本的各面编号，即由第1面一直编到第198面。小王从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问：小王所得的和能否为2000？
【举一反三】张老师请同学们计算1~1000中所有奇数的积，小明很快就算出答案是201356，老师马上就说不可能，你知道这是为什么吗？
【例6】桌子上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中的6只同时“翻转”，请说明：能否经过多少次这样的翻转，使9只杯子全部口朝下？
【举一反三】有八个房间，其中七个房间灯开着，一个房间灯关着。现在每次拨动四个房间的开关，请问经过若干次后能否将八个房间的灯全部关上？请说明理由。
【例7】有10只杯子全部口朝下放在盘子里。你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上。
【举一反三】比较【例6】和【例7】，为什么一个能翻动成功，另一个不能？
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【例8】下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和。如：a=4＋7=11。在填入的81个数中，偶数有多少个？
【举一反三】有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。那么在前1000个数中，有多少个奇数？
【例9】用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个，使它们的和是不超过10的偶数，共有几种不同的取法？
【举一反三】如果在1，2，3，…，2005，2006之间任意添加“＋”或“－”，问最后的结果能否等于0？
【例10】电影厅每排有11个座位。共13排，要求每一个观众都仅和邻近（即前、后、左、右）的一个交换位置。问：这种交换方法是否可行？
【举一反三】阅览室例的座位是9行9列，坐满了学生。现在做一项游戏，当铃声响后，每个同学都要与自己前后左右相邻的同学交换一次座位。问：这项游戏实现得了吗？
【挑战奥数】
1 、199个偶数和199个奇数的和的差是奇数还是偶数？
2 、有3个偶数和2个奇数，两两相加可得10个和，其中偶数有多少个？奇数有多少个？
3 、有四个不同的非0自然数。它们中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的积是3的倍数，为了使这四个数的和尽可能小，这四个数分别是多少？
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4 、用0，1，2，…9这十个数组成两个五位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地大。那么这5个两位数的和是多少？
5 、有100个自然数，它们的和是偶数，在这100个自然数中，奇数的个数比偶数多。问这些数中最多有多少个偶数？
6 、学校一年级共有25名同学，教室里座位恰好排成5行，每行5个座位，把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。问：让这25个学生都离开原座位的邻位，是否可行？
7 、在右下图所示的一张5行5列的方格纸上，每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如a=5×4=20.在填入的25个数中，奇数有几个？
8 、用12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7，你能否从中选出5张，使它们上面的数字之和为20？为什么？
9 、某小学举行了一次智力竞赛，共有39名学生参加，共有20道题，评分方法是：基础分15分，答对一题加5分，不答加1分，请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数？为什么？
10、在1，2，3，…2000，2001每个数的前面任意添加一个加号或减号，将这2001个数连起来构成一个算式，问这个算式的结果是奇数还是偶数？
11、任意给出一个三位数，将组成这个三位数的3个数码的顺序任意改变，得到一个新的三位数。那么，这2个三位数的和能不恩能够等于999？
12、两个自然数的差乘以它们的积，能否得到99099？
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奇数与偶数
【专题解析】 二、基本概念。
能被2整除的数叫偶数（包含0），不能被2整除的数叫奇数。正整数可以分为奇数和偶数两大类。 二、奇数和偶数的运算性质。
奇数±奇数=（ ） 举例： ，
偶数±偶数=（ ） 举例： ， 奇数±偶数=（ ） 举例： ，
偶数×偶数=（ ） 举例： ， 奇数×偶数=（ ） 举例： ， 偶数×奇数=（ ） 举例： ，
奇数个奇数的和（或差）为（ ） 举例： ， 偶数个奇数的和（或差）为（ ） 举例： ，
任意个偶数的和为（ ） 证明：
若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，则积为（ ） 证明：
如果所有的因数都是奇数，则积为（ ） 证明：
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【奥数点拨】
【例1】下面各题的答案是奇数还是偶数？
（2）奇数×奇数×奇数 （2）偶数＋奇数×偶数＋5
【举一反三】若n为偶数，判断下列各数的奇偶性。
3n 2n 2n＋1 3n＋1
【例2】1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008的和是奇数还是偶数？
【举一反三】1＋2＋3＋4＋……＋2003的和是奇数还是偶数？
【例3】1×2×3×……×2007×2008是奇数还是偶数？
5n＋2 ,.
【举一反三】61×33×a×1999×20085为奇数，则a是奇数还是偶数？
【例4】一间会议室有9盏灯，从1~9号依次编号，开始时，只有编号2、6、9的灯是亮的，一个同学按1到9，再又从1到9的顺序拉开关，一共拉300下，问此时编号是几的灯不是亮的？
【举一反三】礼堂里有10盏灯，每盏灯由一根灯绳控制，拉一下亮，再拉一下熄。10个学生依次进入礼堂，第1个学生把1的倍数的灯绳拉一下，灯全亮了，第2个学生把2的倍数的灯绳拉一下，第3个学生把3的倍数拉一下，……第10个学生把10的倍数的灯绳拉一下。最后，礼堂里哪些灯是亮的？
【例5】小红买 一本有99张纸的练习本，小王依次将练习本的各面编号，即由第1面一直编到第198面。小王从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问：小王所得的和能否为2000？
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【举一反三】张老师请同学们计算1~1000中所有奇数的积，小明很快就算出答案是201356，老师马上就说不可能，你知道这是为什么吗？
【例6】桌子上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中的6只同时“翻转”，请说明：能否经过多少次这样的翻转，使9只杯子全部口朝下？
【举一反三】有八个房间，其中七个房间灯开着，一个房间灯关着。现在每次拨动四个房间的开关，请问经过若干次后能否将八个房间的灯全部关上？请说明理由。
【例7】有10只杯子全部口朝下放在盘子里。你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上。
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【举一反三】比较【例6】和【例7】，为什么一个能翻动成功，另一个不能？
【例8】下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和。如：a=4＋7=11。在填入的81个数中，偶数有多少个？
【举一反三】有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。那么在前1000个数中，有多少个奇数？
【例9】用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个，使它们的和是不超过10的偶数，共有几种不同的取法？
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【举一反三】如果在1，2，3，…，2005，2006之间任意添加“＋”或“－”，问最后的结果能否等于0？
【例10】电影厅每排有11个座位。共13排，要求每一个观众都仅和邻近（即前、后、左、右）的一个交换位置。问：这种交换方法是否可行？
【举一反三】阅览室例的座位是9行9列，坐满了学生。现在做一项游戏，当铃声响后，每个同学都要与自己前后左右相邻的同学交换一次座位。问：这项游戏实现得了吗？
【挑战奥数】
1 、199个偶数和199个奇数的和的差是奇数还是偶数？
分析思路：因为任意个偶数的和为偶数，所以199个偶数的和还是偶数。因为奇数个奇数的和还是奇数，所以199个奇数的和仍是奇数。又因为偶数－奇数
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=奇数，所以这两个和的差是奇数。
2 、有3个偶数和2个奇数，两两相加可得10个和，其中偶数有多少个？奇数有多少个？
分析思路：首先要搞清楚什么叫两两相加，也就是每两个数都要相加，我们用下面这个来记录两两相加的和的奇偶性会更清楚。 （注意：不能重复地求和，也不能本身加本身，这样共有10个和。） 从表格中看以看出，这10个和中有4个偶数，6个奇数。
3 、有四个不同的非0自然数。它们中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，为了使这四个数的和尽可能小，这四个数分别是多少？ 分析思路：因为“任意两个数的和是2的倍数”，所以这4个数必须同奇偶（因为同奇或同偶和才是数的和是3的倍数”，除以3的余数相同），要这四个数的和最小，
偶数）。又因为“任意三个这4数必须模3同余（即余数可以是0、1、2。又所以选余数为0。则这四
个数就既是2的倍数又是3的倍数，所以必是6的倍数，那就从最小的公差为6的等差数列开始找起。答案就是0、6、12、18。
4 、用0，1，2，…9这十个数组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地大。那么这5个两位数的和是多少？
分析思路：要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。要满
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足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
5 、有100个自然数，它们的和是偶数，在这100个自然数中，奇数的个数比偶数多。问这些数中最多有多少个偶数？
分析思路：100个自然数,奇数的个数比偶数的个数多，那么奇数最少有51个，偶数有49个，但由于51个奇数的和为奇数，再加上49个偶数，总和应该是奇数，但它们的和为偶数，所以奇数最少有52个，偶数最多有48个。 6 、学校一年级共有25名同学，教室里座位恰好排成5行，每行5个座位，把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。问：让这25个学生都离开原座位的邻位，是否可行？
分析思路：本题的解题方法同【例10】，不可行。
7 、在右下图所示的一张5行5列的方格纸上，每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如a=5×4=20.在填入的25个数中，奇数有几个？
分析思路：根据奇偶数的运算性质，要使两个数的乘积为奇数只有一种情况，即奇数×奇数=奇数。在1至5这5个数中有3个奇数，所以在填入的这25个数中有3×3=9（个）奇数。
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8 、用12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7，你能否从中选出5张，使它们上面的数字之和为20？为什么？
分析思路：因为每张卡片上的数字都是奇数，5个奇数的和还是奇数，而20是偶数，所以不可能。
9 、某小学举行了一次智力竞赛，共有39名学生参加，共有20道题，评分方法是：基础分15分，答对一题加5分，不答加1分，请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数？为什么？
思路分析：每个人对于一道题目都是奇数分数的修改，而总共30题也就是30个奇数（不管他是什么奇数）相加，为偶数，再加上基础分总共为奇数。也就是每个同学的分数都是奇数。99个奇数相加当然是奇数。
10、在1，2，3，…2000，2001每个数的前面任意添加一个加号或减号，将这2001个数连起来构成一个算式，问这个算式的结果是奇数还是偶数？ 思路分析：1--2010，一共2010个数，其中奇数与偶数各有：2010÷2=1005个。1005个奇数相加减，结果是奇数1005个偶数相加减，结果是偶数1个奇数与1个偶数相加减，结果是奇数，所以该算式的结果是奇数。
11、任意给出一个三位数，将组成这个三位数的3个数码的顺序任意改变，得到一个新的三位数。那么，这2个三位数的和能不能够等于999？
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思路分析：不可能。因为改变某个三位数的各个数位的顺序,得到一个新三位数。它的各个数之和与改变顺序前的各个数之和相等,这两个和的和肯定是偶数（如果两个数相等，这两个数的和一定是偶数。）而999之和为27,是奇数，所以不可能。
12、两个自然数的差乘以它们的积，能否得到99099？
思路分析：当奇偶性不同，差是奇数，乘积是偶数。奇数×偶数=偶数，不可能是99099。如果都是奇数，差为偶数，乘积是奇数。偶数×奇数=偶数，也不可能为99099.如果都是偶数，差为偶数，乘积是偶数。偶数×偶数=偶数，也不可能为99099。所以，不论这两个数是奇数还是偶数，都不可能是99099。
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