等差数列教学设计

一、设计理念

随着科学技术的不断发展，数学已经不仅仅是学习后继课程和解决科技问题的工具，而且是培养理性思维的重要载体，成为科技人员科技水平的重要组成部分。但数学要跟上时代发展的步伐，满足社会发展的需要，就应该从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者和服务者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。

二、教材分析

本节课主要研究等差数列的概念、通项公式及其应用，是本章的重点内容之一。而所处章节《数列》又是高中数学的重要内容，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。一方面,数列与前面学习的函数等知识有密切的联系;另一方面,学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。同时也是培养学生数学能力的良好题材。学习数列要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

三、教学目标

知识目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。 能力目标：1.培养学生观察能力

2.进一步提高学生推理、归纳能力

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情感目标：

1．体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2．渗透函数、方程、化归的数学思想；

3．培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。

四、教学重点

1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。

五、教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用

六、教学方法

启发式教学

启发学生逐步发现和认识等差数列“等差”特点及探索出等差数列的通项公式。

七、教学手段

计算机多媒体教学平台

计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，也为掌握理性知识创造了条件，这样即可以使学生有兴趣地学习，同时学生的注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。

八、教学程序

（一） 背景问题——创设情景

教师：上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据.（多媒体大屏幕显示）

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表（一）（单位：万） 99 00 01 02 03 04 人口总量 66.95 66.80 66.65 66.50 66.35 66.20 耕地面积 48.50 48.80 49.10 49.40 49.70 50.00 表（二）（单位：元/平方米）

2月 4月 6月 8月 10月 12月 490 520 550 580 610 房价 460 工资 1200 1200 1200 1200 1200 1200 （为了便于研究，上述表格中的数据已经经过近似处理） 思考问题（一）：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？

（数据来源于现实社会，让学生围绕思考问题一分小组讨论，目的是培养学生将实际问题数学化的能力及数学建模能力。）

教师：从两方面考虑：（1）从宏观上（移居大城市，计划生育，围海造田）；（2）从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）。

表（三）

a1 a2 a3 a4 a5 a6 66.95 66.80 66.65 66.50 66.35 66.20 48.50 48.80 49.10 49.40 49.70 50.00 460 490 520 550 580 610 1200 1200 1200 1200 1200 1200 学生活动（1）：学生观察、分析上述表格中的每一行数据. 教师：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征吗？

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学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。

教师：反例：2，5，9，10，12，这样的数列特征和上述数列一样吗？ 学生：不一样，要加上同一常数。

学生2：每一项与前一项的差等于同一常数。

教师：反例：2，5，7，9，11，这样的数列特征和上述数列一样吗？ 学生：不一样，必须从第二项起。

学生3：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一常数。

（教师板书等差数列的定义，通过上述反例的说明，让学生深刻理解这四组数列的共同特征：（1）从第二项起；（2）同一常数。） 教师：用数学符号语言表示上述定义。

学生活动（2）：学生合作、讨论、交流、抽象、概括。 数学语言：

anan1d(d是常数，n2,nN*)或an1and(d是常数,n1,nN*)

教师:这样的数列在你日常生活中存在吗? 学生: 举例:

21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25 ,…… d=0.5; 40 ，50，60，70，80，90，100 ,……d=10; 40，40，40，40，40，40 ,……d=0.

教师:回到表格中抽象出的4个数列,分别说出它们的公差.

d10.15,d20.30,d3300,d40. 探索问题（一）:

数列{3n-5}是等差数列吗？如果是，请给以证明；如果不是，请说明理由。 （学生通过交流与合作并相互启发，从而不断完善自己的认知结构）

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思考问题（二）:已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d，(多媒体大屏幕显示,学生

分组讨论)

① 将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

② 取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

③ 取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

理解等差数列的概念是这节课的难点，为了突破难点，我精心设计了这样的几个问

题，在教师努力创设学习情境，并提供有效的教育资源的同时，全部教学活动被发现问题，思考问题，探究问题磁石般的吸引着课堂,并呈现出学生求知若渴、主动学习、争先思考、互相策应的激动人心的画面.

探索问题（二）：若等差数列an的首项是a1，公差是d，则可以求a2,a3,...an,.... ，即可求 an 的任意一项，这说明这个数列的任意一项都可用a1和d 表示，即这个数列应有一个通项公式。

学生活动（3）：探索、猜想、证明。 学生（一）:a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d a4a3d即：a4a3da13d ……

由此可得：ana1(n1)d （n≥2）

当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

ana1(n1)d （n∈N）

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*

学生（二）:

a2a1da3a2da4a3d......anan1d上述式子左右两边分别相加得：ana1(n1)d,当n=1时也成立。整理得：ana1(n1)d学生（三）：因为an(anan1)(an1an2)...(a3a2)(a2a1)a1又anan1d(n2)所以有：ana1(n1)d教师小结：大部分学生用不完全归纳法，通过个别同学补充叠加法与拆项法，从而得到等差数列 an 的通项公式为：ana1(n1)d （n≥2），其中a1 是这个数列的首项, d 是公差。

思考问题（三）：等差数列中a1 =1,d=2,数列的通项公式是什么？（an=2n-1） 那么要求等差数列的通项公式只需求什么？（a1和d）

学生活动（4）：

同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。

通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解等差数列的定义及通项公式,对学困生来讲，这样才能打好基础，这样安排即符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向

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全体的基本要求。

思考问题（四）：求等差数列8，5，2…的第20项。

导析：由a1=8，d=5-8=-3，n=20得，a20=8+（20-1）×（-3）=-49 思考问题（五）：

-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 导析：由a15,d9(5)4

得数列通项公式为：an54(n1)=-4n-1

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

问题延伸：如果已知等差数列中任意两项，能不能求出an呢？ 学生：举例：在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求an 。 解： a1 +4d=10 a1 +11d=31 解得 a1=-2 ，d=3，则an=3n-5

教师：此解法是利用数学的函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。

问：由a5=a1 +4d ，a12=a1 +11d能够有什么启示？ 生：a12=a1 +11d=a5+（12-5）d，于是有

an=am+（n-m）d，(推导公式)

上题可先求出d=3，那么

an= a5+（n-5）d= a12+（n-12）d=3n-5 形成检测，反馈回授：

1、 求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。

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2、100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。 3、-20是不是等差数列0, -3.5， -7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

4、 已知a4=10，a7=19，求a1与d。 5、已知a3=9，a9=3，求a12

九、课时小结

提出问题：这节课你们学到了什么？

教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。 生：①等差数列定义。

即anan1d(n≥2) 或an+1- an = d （n∈N*） ②等差数列通项公式 ana1(n1)d(n∈N*) 推导出公式：anam(nm)d

十、知识延伸

我们已经学习了数列的通项公式是关于n的函数，那么等差数列的通项公式是关于n的怎样的函数？（当d=0时，是常函数，当d≠0时，是关于n的一次函数）从图象上看呢？（表示直线上无穷多个孤立的点） 动画演示 如：

-2，0，2，4，6，8，10，…… 7，4，1，-2，……

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4，4，4，4，4，4，……

通过以上观察，你能发现首项a1和公差d对{an}的图象的影响吗？（课下讨论）

十一、课后作业

习题1、2、3

板书设计

二、 一、定义 1．anan1d （n≥2） 通项公式 公式推导过程 等差数列

1．ana1(n1)d 十二、教后反思

新课堂是活动的课堂，讨论合作交流的课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂。本节课的设计，把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识结构被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起。学生课后的评价是：有新鲜感，生动有趣，思路开阔。最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。

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