定积分练习题

题型

1.定积分与极限的计算

2.计算下列定积分

3.计算下列广义积分

一．定积分的概念与性质

1.定积分的定义

2.定积分的性质

-

3.变上限函数及其导数

4.牛顿—莱布尼茨公式

5.换元积分公式与分部积分公式内容

6.广义积分

题型

题型I 利用定积分定义求极限

题型II比较定积分的大小

题型III利用积分估值定理解题

:

题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题

题型V定积分的计算

题型VI积分等式证明

题型VII积分不等式证明

题型VIII广义积分的计算

自测题五

1.根据极限计算定积分

2.根据定积分求导

:

3.求极限

4.求下列定积分

5.证明题

4月21日定积分练习题

基础题：

一．选择题、填空题

1．将和式的极限

1p2p3p.......nplim(p0)nnP1

表示成定积分 （ ）

11pdxxdx0x0A． B．

11p()dx0xC．

1xp()dx0nD．

1&

2．将和式

111.........)n1n22n

lim(n表示为定积分 ．

3．下列等于1的积分是 11A．10xdx

B．0(x1)dx C．01dx14．

0|x24|dx= 212223A．3 B．3 C．3 5．曲线

ycosx,x[0,32]与坐标周围成的面积 5A．4

B．2 C．2 16．x0(eex)dx= *

（ ）

11 D．02dx（ ）

25 D．3

）

D．3

（ ）

（ A．

e1e

B．2e

21eC．e D．e

7.若

medx01x，

ne11dxx，则m与n的大小关系是（ ）

A．mn B．mn C．mn D．无法确定

8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力

Fkm1m2r2，k为常数，m1,m2为两质点的质量，

r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求

所作之功（b>a） ．

29．由曲线yx1和x轴围成图形的面积等于S．给出下列结果：

①11(x21)dx；②11(1x2)dx；③

2(x21)dx01；④

2(1x2)dx10．

则S等于（ ）

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④

#

10.

y(sintcostsint)dt0x

，则y的最大值是（ ）

7C．2

A．1 B．2 D．0

11. 若f(x)是一次函数，且012f(x)17dxf(x)dx50xf(x)dx16x，，那么的值是

1 ．

12．

xtf(t)dt0F(x),2x,cx0x0

,其中f(x)在x0处连续，且f(0)0若F(x)在 x0处连续，则c（ ）。

(A).c0;

(B).c1;

(C).c不存在；

《

(D).c1.

13．

xtf(t)dt0F(x),2x,cx0x0

,其中f(x)在x0处连续，且f(0)0若F(x)在 x0处连续，则c（(A).c0;

(B).c1;

(C).c不存在；

(D).c1.

14．设baf(x)dx0且f(x)在[a,b]连续，则（ ）。

(A).f(x)0;

(B).必存在x使f(x)0；

(C).存在唯一的一点x使f(x)0 ；

(D).不一定存在点x使 f(x)0。

。 ）

15．设

sinxxf(x)3其余0

，则0f(x)cos2xdx( )

3（A）4 3 （B）4

（C）1 （D）－d16．2dx0sinx2dx=________

17. 定积分

0sinxsin3xdx等于_______

18. 定积分

0cosxcos3xdx 等于( )

;

3 （A） 0 （B） 2 4 （C） 3 （D） 43

19. 定积分20|sinxcosx|dx 等于( )

1

（A） 0 （B） 1

（C） 21 （D） 2(21)

20.定积分22max{x3,x2,1}dx等于( )

（A） 0 （B） 4

1697（C） 3 （D）12

~

21.设

tf(x)ln(1t)dt,g(x)arcsindt,200x2x2

则当x0时,f(x)是g(x)的( )

(A) 同阶无穷小,但不等价

(B) 等价无穷小

(C) 低价无穷小

(D) 高价无穷小

x22.

F(x)etcostdt,0则F(x)在[0,]上有( )

(A)

F()

2为极大值,F(0)为最小值

(B)

F()

2为极大值,但无最小值

(C) `

(D)

F()

2为极小值,但无极大值

(E)

F()2为最小值,F(0)为最大值

综合题：

(1)10x2dxx2x2(2)ln(1x)dx01(3)(x24x2xcos5x)dx22

(4)eedxx(1lnx)lnx22(5)2dx(32xx)232220(6)tanx[sin2xln(x1x)]dx22(7)124x20dx

(8)已知函数f(x)在[0,2]上二阶可导，且：f(2)1，f'(2)0及202f(x)dx4，求：xf''(2x)dx01

3212(9)1arctanxdx2x(10)1dxex1e3x(11)dxxx2 (12)(1x2)10dx11

(13)求极限lim(x0x01t2dtxx0sintdtx2)

《

nnn...)n21n222n2n2

(14)用定积分定义计算极限：lim(n(15)设隐函数yy(x)由方程xetdty3ln40所确定，求:03x2dydx

2x(et21)dt0(16)设f(x)x2Ax0处可导，并求出f'(0).x0,问当A为何值时，f(x)在x0点

(17)设f(x)cosx22f(x)dx,其中f(x)为连续函数，试求:f(x)04

ax2x(18)设正整数a，且满足关系lim()1xe4xdx，试求a的值。x0axa

4月22日定积分练习题

基础题：

:

1．积分中值定理baf(x)dxf()(ba)，其中（ ）。

(A) 是[a,b]内任一点；

(B). 是[a,b]内必定存在的某一点； (C). 是[a,b]内唯一的某一点；

(D). 是[a,b]的中点。

12.

1(1x)1x2dx( )

（A）

（B）2

（C）2

（D）4

13. 设fC[0,1]，且0f(x)dx2，则20f(cos2x)sin2xdx( ：

)

（A）2 （B）3 （C）4 （D）1

4. 设f(x)在[a,b]上连续，且abf(x)dx0，则（ ）。

（A）在[a,b]的某个子区间上，f(x)0；

（B）在[a,b]上，f(x)0；

（C）在[a,b]内至少有一点c，f(c)0；

（D）在[a,b]内不一定有x，使f(x)0。

25.

0x32x2xdx=( )

(A)

4(22)15

(B) *

4(22)15

(C)

428235 (D)

428235 (D)

6.

dln(1t)dtdx2xlnx=( )

1ln(1lnx)2ln(12x)(A) x1 xln(1lnx)ln(12x)

ln(1lnx)ln(12x)

(D)ln(1lnx)2ln(12x)

7.

22(1cosx)f(x)x11xxcost2dt0,则f(x)在x0点( )

(A) '

(B) 连续,但不可导

(C) 可导,但导函数不连续

(D) 不连续

x0x0x0

(B)(C)(E) 导函数连续

ex11exdx( )

1 (A) 1

1e (B) 1e

1e (C) 1e

{

(D) 1

填空、选择题

(1)280sinxdx_______,20cos7xdx_______,

(2)limx021x0tsintdtln(1x)______;(3)x22xdx_______;(4)曲线yt(1t)dt的上凸区间是_______;1x(5)01cos2xdx_______;0(6)设f(x)是连续函数，且f(x)sinxf(x)dx，则：f(x)______;(7)x(1x2005)(exex)dx______;11(8)limx1xx1ln(11)dt_______;t

(9)设函数y(t1)edt的极大值点为_______;0x2t2(10)设正值函数f(x)在[a,b]上连续，则函数F(x)f(t)dtaxxb1dtf(t)在(a,b)上至少有___个根(A)0(B)1(C)2(D)3

41x2(11)f(t)dt,则：0xf(x)dx______;04(A)16(B)8(C)4(D)2

x1dx_______1x2311(A)(B)(C)(D)不存在2221(13)dx________21xx1(12)2(A)0(B)2(C)4(D)发散

4月23日定积分练习题

.

一．计算下列定积分的值

（1）31(4xx)dx2；（2）21(x1)dx5；

（3）20(xsinx)dx；（4）

22cos2xdx；

（5）

π20e2dx1x2cosddx(2x3)dx202 （6）0； （7）1x； （8）exlnx； 211941dxexex2(x)dx;;3tanxdxdx400x2（9）； （10）0 （11）（12）1x

111dx2(lnx)dx;5x2cosxsin2xdx;2esinxdx;1ex0(x2x1)3/2（13） （14）0（15）0 （16）

e、

（17）

201cosxdxdx;;0exex1sin2x （18）

二．求下列极限：

x1x2limcostdt;xlim0x（1）x0 （2）

(etdt)220x0e2t2.dt

[

三．利用定积分求极限

（1）

111n;lim222(n2)(nn)n(n1)

（2）

111);222n1(n2)2n

limn(n

)

四．证明题

dx（）设1f'(x)在(,)上连续，证明：((xt)f'(t)dt)f(x)f(a)。dxa

33sinxcosx（2）证明:2dx2dx,并求出积分值。0sinxcosx0sinxcosx

(3)设函数f(x)在[0,]上连续，且f(x)dx0,f(x)cosxdx0试证明在(0,)内至少00存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0（作辅助函数F(x)f(t)dt,x(0,),再使用积分中值定理和Rolle定理）0x

（4）设f(x)在[0,1]上可导，且满足f(1)2xf(x)dx,证明：必存在点（0，1），使得f'()f()120(利用积分中值定理和Rolle定理证明）

|

4月24日定积分练习题

一、填空题：

f(x)dx[a,b]f(x)1a1. 如果在区间上, ,则 .

b2. 10(2x3)dx .

3. 设

f(x)sint2dt0x,则f(x) .

4. 设

f(x)1cosxetdt2,则f(x) .

5.

20cos5xsinxdx

6.

sin222n1xdx . <

7.

11dxx3 .

8. 比较大小,

31x2dx

31x3dx.

9. 由曲线ysinx与x轴,在区间[0,]上所围成的曲边梯形的面积为 .

2yx10. 曲线在区间[0,1]上的弧长为 .

二、选择题：

1. 设函数 f(x)仅在区间[0，4]上可积，则必有03f(x)dx=[ ]

A．02f(x)dx32f(x)dx B．01f(x)dx31f(x)dx

C．05f(x)dx35f(x)dx D．010f(x)dx310f(x)dx

￥

2.设I1=01xdx，I2=12x2dx，则[ ]

A． I1I2 B．I1I2 C．I1I2 D．I1I2

3.

y(t1)(t2)dt则0x3dyx0dx

A．2 B．-2 C．0 D．1

4.

a0x(23x)dx2,则a

A．2 B．-1 C．0 D．1

x2(x0)1f(x)dxx(x0)f15. 设（x）=则=[ ]

A．201xdxx B．2012dx

!

C．01x2dx+10xdx D．01xdx01x2dx

6.

limx0x0sint2dtx2

11A．2 B．3 C．0 D．1

x7.

F(x)etcostdt,0则F(x)在[0,]上有( )

(F)

F(2)

为极大值,F(0)为最小值

(G)

F(2)

为极大值,但无最小值

(H)

F(2)

为极小值,但无极大值

(I)

F(2)为最小值,F(0)为最大值

$

xx0sintdttdy8. 设方程组y0costdt确定了y是x的函数，则dx（ ）

(A)cott (B)tant

(C)sint (D)cost

9. 设f(x)是区间a,bx22上的连续函数，且1f(t)dtx3，则f(2)（(A) 2

）

(B) -2

1(C) 4

1(D)4

:

ln(1x)dx01x210. 定积分 =（ ）

1（A） 1 （B） 2

（C） ln2 （D） 8ln2

11. 定积分

2tanx441exdx =（ ）

11242 （A） （B）

（C）

12 （D）

14

12.下述结论错误的是 （ ）

(A )

0xdx1dx01x2 发散 ( B ) 1x2收敛

`

xdx0xdx22(C )

1x ( D ) 1x13. 设函数 fR[a,b]， 则极限

nlimf(x)|sinnx|dx0 2（A）

2f(x)dx0 （B）

f(x)dx0

1（C）

f(x)dx0 （D） 不存在

14. 设f(x)为连续函数，且满足

xf(tx)dtx202ex1

，则f(x)（ ）。

（A）xex

（B）xex

发散

等于（ ）

（C）xe

x（D）xe

x15. 设正定函数fC[a,b)，

1dtf(x)

F(x)f(t)dtaxxb，则F(x)0在

(a,b)内根的个数为 ( )

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

16.定积分的定义为

baf(x)dxlimf(i)xi0i1n

，以下哪些任意性是错误的( )

(A) 随然要求当的。

maxxi0i时，

f()xiii的极限存在且有限，但极限值仍是任意

(B) 积分区间[a,b]所分成的分数n是任意的。

(C) 对给定的份数n，如何将[a,b]分成n份的分法也是任意的，即除区间端点

ax0,bxn外，各个分点x1x2xn1的取法是任意的。

(D) 对指定的一组分点，各个i[xi1,xi]的取法也是任意的。

17.

dln(1t)dtdx2xlnx=( )

1ln(1lnx)2ln(12x)x(D)

(E)

1ln(1lnx)ln(12x)x

(F) ln(1lnx)ln(12x)

(D)ln(1lnx)2ln(12x)

d(x2t21tdt)(118. dx ）

22(A ) x1x (B ) x1x2

4252x1x2x1x(C ) ( D )

三．计算题：

dx21t2dt1. dx0 2.

20sinxdx

3.

10dx4x2 4.

limx0(etdt)2x20x0te2tdt2

15.

a0x2a2dx(a0) 21t7.

20tedt 4dx6.

1xx

1x 8.

0edx