2019年高考全国一卷文科数学真题卷(含答案)

2019年高考全国一卷文科数学真题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设zA．23i，则z=12iB．3C．2D．12．已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则A．1,6B．1,70.20.3C．6,7，则C．cabD．1,6,73．已知alog20.2,b2,c0.2A．abcB．acbD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151（22≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子2下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190 cm5．函数f(x)=sinxx[-π，π]的图像大致为2在cosxxB．A．C．D．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生7．tan255°=A．-2-3B．-2+3C．2-3D．2+3B．200号学生C．616号学生D．815号学生8．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a-b）b，则a与b的夹角为A．π 6B．π 3C．2π 3D．5π 69．如图是求121212的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12AB．A=21AC．A=112AD．A=112Ax2y210．双曲线C：221(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为abA．2sin40°B．2cos40°C．1sin50D．1cos5014，则11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-A．6B．5C．4D．3bc=12．已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为x2A．y212x2y2B．132x2y2C．143x2y2D．154二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a11，S315．函数f(x)sin(2x3，则S4=___________．43π)3cosx的最小值为___________．216．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意男顾客女顾客4030不满意1020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？n(adbc)2附：K．(ab)(cd)(ac)(bd)2P0.0500.0100.001（K2≥k）k18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.3.8416.63510.828（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．21.（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）1t2x，21t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的4ty1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）111a2b2c2；abc333（2）(ab)(bc)(ca)24．参考答案一、选择题1．C7．D二、填空题13．y=3x 三、解答题17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为概率的估计值为0.8．14．2．C 8．B3．B9．A4．B10．D5．D11．A6．C12．B5815．−416．2400.8，因此男顾客对该商场服务满意的50女顾客中对该商场服务满意的比率为0.6．300.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为50100(40203010)2（2）K4.762．505070302由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设an的公差为d．由S9a5得a14d0．由a3=4得a12d4．于是a18,d2．因此an的通项公式为an102n．（2）由（1）得a14d，故an(n5)d,Sn2n(n9)d.2由a10知d0，故Sn…an等价于n11n10„0，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{n|1„n„10,nN}．19．解：（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME∥B1C，且ME为A1D的中点，所以ND1B1C.又因为N21A1D.2由题设知A1B1∥=DC，可得B1C∥=A1D，故ME∥=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E17，故CH417.17从而点C到平面C1DE的距离为417.1720．解：（1）设g(x)f(x)，则g(x)cosxxsinx1,g(x)xcosx.当x(0,)时，g(x)0；当x单调递减.又g(0)0,gπ2πππ,π时，g(x)0，所以g(x)在(0,)单调递增，在,π222π0,g(π)2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点.2所以f(x)在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知f(π)…aπ,f(π)0，可得a≤0.由（1）知，f(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x0,x0时，f(x)0；当xx0,π时，f(x)0，所以f(x)在0,x0单调递增，在x0,π单调递减.又f(0)0,f(π)0，所以，当x[0,π]时，f(x)…0.又当a„0,x[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax.因此，a的取值范围是(,0].21．解：（1）因为M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a, a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r|a2|.22由已知得|AO|=2，又MOAO，故可得2a4(a2)，解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.（2）存在定点P(1,0)，使得|MA||MP|为定值.理由如下：设M(x, y)，由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.2222由于MOAO，故可得xy4(x2)，化简得M的轨迹方程为y4x.因为曲线C:y4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MA||MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.21t4t2y1t222．解：（1）因为11，且x1，所以C的直角坐标方程为2221t221t1t2222y2x1(x1).42l的直角坐标方程为2x3y110.（2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）.y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.77当2ππ时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.3322222223．解：（1）因为ab2ab,bc2bc,ca2ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca所以abbcca111.abcabc111a2b2c2.abc（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(ab)(bc)(ca)24.333