考研数学三（线性代数）模拟试卷48 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论：①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关；②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；③如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．其中正确结论的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
正确答案：C
解析：如果α1，α2，α3线性无关，由于α1，α2，α3，α4为4个3维向量，故α1，α2，α3，α4线性相关，则α4必能由α1，α2，α3线性表出，可知①是正确的．令，则α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关．可知②是错误的．由[α1，α1+α2，α2+α3]→[α1，α2，α2+α3]→[α1，α2，α3]，[α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4]→[α4，α1，α2，α3]→[α1，α2，α3，α4]，可知r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，故当r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)时，也有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3线性表出．可知③是正确的．故选(C)． 知识模块：线性代数
2． 设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1－α2， α1－2α2+α3，(α1－α3)， α1+3α2－4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
正确答案：A 解析：由Aα1=Aα2=Aα3=b可知A(α1－α2)=Aα1－Aα2=b－b=0，A(α1－2α2+α3)=Aα1－2Aα2+Aα3=b－2b+b=0，=0，A(α1+3α2－4α3)=Aα1+3Aα2－4Aα3=b+3b－4b=0，因此这4个向量都是Ax=0的解，故选(A)． 知识模块：线性代数
3． 设A是秩为n－1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的
解向量，则Ax=0的通解必定是 ( )
A．α1+α2 B．kα1
C．k(α1+α2) D．k(α1－α2)
正确答案：D
解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确．由n－r(A)=1知Ax=0的基础解系由一个非零向量构成．α1，α1+α2与α1－α2中哪一个一定是非零向量呢?已知条件只是说α1，α2是两个不同的解，那么α1可以是零解，因而kα1可能不是通解．如果α1=－α2≠0，则α1，α2是两个不同的解，但α1+α2=0，即两个不同的解不能保证α1+α2≠0．因此要排除(B)，(C)．由于α1≠α2，必有α1－α2≠0．可见(D)正确． 知识模块：线性代数
4． 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．其中正确的是 ( )
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
正确答案：B
解析：当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．当An+1x=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，…，．Anx均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，Anx是线性无关的．由于x，Ax，…，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0．可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误．故选(B)． 知识模块：线性代数
5． n维向量组α1，α2，…，α3(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( ) A．存在一组全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0 B．α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
C．α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D．存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs≠0
正确答案：C 解析：可用反证法证明之．必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs－1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出．充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．(A)对任何向量组都有0α1+0α2+…+0αs=0的结论．(B)必要但不充分，如α1=[0，1，0]T，α2=[1，1，0]T，α3=[1，0，0]T任意两个向量线性无关，但α1，α2，α3线性相关．(D)必要但不充分，如上例α1+α2+α3≠0，但α1，
α2，α3线性相关． 知识模块：线性代数
6． 设有两个n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βs，若存在两组不全为零的数k1，k2，…，ks，λ1，λ2，…，λs，使(k1+λ1)α1+(k2+λ2)α2+…+(ks+λs)αs+(k1－λ1)β1+…+(ks－λs)βs=0，则 ( )
A．α1+β1，…，αs+βs，α1－β1，…，αs－βs线性相关 B．α1，αs及β1，…，βs均线性无关 C．α1，…，αs及β1，…，βs均线性相关
D．α1+β1，…，αs+βs，α1－β1，…，αs－βs线性无关
正确答案：A
解析：存在不全为0的k1，k2，…，ks，λ1，λ2，…，λs使得(k1+λ1)α1+(k2+λ2)α2+…+(ks+λs)αs+(k1－λ1)β1+(k2－λ2)β2+…+(ks－λs)βs=0，整理得k1(α1+β1)+k2(α2+β2)+…+ks(αs+βs)+λ1(α1－β1)+λ2(α2－β2)+…+λs(αs－βs)=0，从而得α1+β1，…，αs+βs，α1－β1，αs－βs线性相关． 知识模块：线性代数
7． 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3，α4线性无关，则与(Ⅰ)等价的向量组是 ( )
A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1 B．α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1 C．α1+α2，α2－α3，α3+α4，α4－α1 D．α1+α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1
正确答案：D
解析：因(A)α1+α2－(α2+α3)+(α3+α4)－(α4+α1)=0；(B)(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α4)+(α4－α1)=0；(C)(α1+α2)－(α2－α3)－(α3+α4)+(α4－α1)=0，故均线性相关，而[α1+α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1]=[α1，α2，α3，α4]=[α1，α2，α3，α4]C，其中故α1+α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1线性无关，两向量组等价． 知识模块：线性代数
8． 设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性无关，且αi(i=1，2，…，s)不能由(Ⅱ)β1，β2，…，βt线性表出，βi(i=1，2，…，t)不能由(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则向量α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs ( )
A．必线性相关 B．必线性无关
C．可能线性相关，也可能线性无关 D．以上都不对
正确答案：C
解析：只要对两种情况举出例子即可．①取线性无关，且显然不能相互线性表出，但4个3维向量必定线性相关；②取线性无关，且显然不能相互线性表出，且4个向量仍然线性无关．由①，②知，应选(C)． 知识模块：线性代数
9． 已知n维向量的向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量组αˊ1，αˊ2，…，αˊs可能线性相关的是 ( )
A．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量加到第2个分量得到的向量
B．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改变成其相反数的向量
C．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第一个分量改为0的向量 D．αˊi(i=1，2，…，s)是αi(i=1，2，…，s)中第n个分量后再增添一个分量的向量
正确答案：C
解析：将一个分量均变为0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关．(A)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性． 知识模块：线性代数
填空题
10． 设A，B为3阶相似矩阵，且｜ 2E+A｜=0，λ1=1，λ2=－1为B的两个特征值，则行列式｜A+2AB｜=_________．
正确答案：18 解析：由｜2E+A｜=｜A－(－2E)｜=0知λ=－2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1=1，λ2=－1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1=1，λ2=－1，λ3=－2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(－1)=－1，1+2×(－2)=－3，从而｜E+2B｜=3×(－1)×(－3)=9，｜A｜=λ1λ2λ3=2．故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=2×9=18． 知识模块：线性代数
11． 设A=E+αβT，其中α，β均为n维列向量，αTβ=3，则｜A+2E｜=_________．
正确答案：2.3n
解析：由于αTβ=3，可知tr(αβT)=3．αβT的秩为1，故0至少为αβT的n－1重特征值，故αβT的特征值为0(n－1重)，3．因此，A+2E=αβT+3E的特征值为3(n－1重)，6，故｜A+2E｜=3n－1.6=2.3n． 知识模块：线性代数
12． 已知ABC=D，其中，则B*=_________．
正确答案：
解析：B－1=，B*=｜B｜B－1，且B－1=(A－1DC－1)－1=CD－1A=，所以 知识模块：线性代数
13． 设α1=[1，0，－1，2]T，α2=[2，－1，－2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，－1，－5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=_________．
正确答案：－3
解析：[α1，α2，α3，β]=β不能由α1，α2，α3线性表出t=－3． 知识模块：线性代数
14． 已知3维向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1－α2，α2－kα3，α3－α1也线性无关的充要条件是k_________．
正确答案：≠1
解析：[α1－α2，α2－kα3，α3－α1]=[α1，α2，α3]α1，α2，α3线性无关，故α1－α2，α2－kα3，α3－α1线性无关的充要条件是=1－k≠0，k≠1． 知识模块：线性代数
15． 设n维向量α1，α2，α3满足2α1－α2+3α3=0，对于任意的n维向量β，向量组l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3都线性相关，则参数l1，l2，l3应满足关系__________．
正确答案：2l1－l2+3l3=0
解析：因l1β+α1，l2β+α2，l3β+α3线性相关存在不全为零的k1，k2，k3，使得k1(l1β+α1)+k2(l2β+α2)+k3(l3β+α3)=0，即 (k1l1+k2l2+k3l3)β+k1α1+k2α2+k3α3=0．因β是任意向量，α1，α2，α3满足2α1－α2+3α3=0，故令2l1－l2+3l3=0时上式成立．故l1，l2，l3应满足2l1－l2+3l3=0． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16． 设有矩阵Am×n，Bm×n，Em+AB可逆．(1)验证：En+BA也可逆，且(En+BA)－1=En－B(Em+AB)－1A；(2)设其中=1．利用(1)证明：P可逆，并求P－1．
正确答案：(1)(En+BA)(En－B(Em+AB)－1A)=En+BA－B(Em+AB)－1A－BAB(Em+AB)－1A=En+BA－B(Em+AB)(Em+AB)－1A=En，故(En+BA)－1=En－B(Em+AB)－1A．其中X=[x1，x2，…，xn]T，y=[y1，y2，…，yn]T．因1+YTX=1+=2≠0，由(1)知P=E+XYT可逆，且p－1=(E+XYT)－1=E－X(1+YTX)－1YT=E－XYT 涉及知识点：线性代数
17． 已知α1=[1，－1，1]T，α2=[1，t，－1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，－4]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．
正确答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，按分量写出为对增广矩阵进行初等行变换得由条件知r(A)=r()＜3，从而t=4，此时，增广矩阵可化为其通解为，k∈R．所以β=－3kα1+(4－k)α2+kα3，k∈R． 涉及知识点：线性代数
18． 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
正确答案：设x1β1+x2β2+…+xsβs=0，即(x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs－1+xs)αs=0．因为α1，α2，…，αs线性无关，则其系数行列式(1)当s为奇数时，｜A｜－2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关；(2)当s为偶数时，｜A｜=0，方程组有非零解，则向量组β1，β2，…，βs线性相关． 涉及知识点：线性代数
19． 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
正确答案：设kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，等式两边左乘A，得(k+k1+…+kt)Aβ=0k+k1+…+kt=0，则k1α1+…+ktαt=0．由α1，α2，…，αt线性无关，得k1=…=kt=0=>k=0，所以β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关． 涉及知识点：线性代数
20． 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
正确答案：设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ1，ξ2，…，ξr，(Ⅱ)的一个极大无关组为η1，η2，…，ηr．因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr线性表示，于是r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r．又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr，也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一个极大无关组，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)表示，得证． 涉及知识点：线性代数
21． 求齐次线性方程组基础解系．
正确答案：A=，则方程组的解为令，得方程组的基础解系ξ1=[－1，1，0，0，0]T，ξ2=[－1，0，－1，0，1]T． 涉及知识点：线性代数
22． 问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．
正确答案：B=[A｜b]=线性方程组有解r(A)=r(B)－λ+1=0=>λ=1，其通解为x=k，k为任意常数． 涉及知识点：线性代数
23． λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．
正确答案：方程组改写为则有①当λ≠1且λ≠时，方程组有唯一解；②当
λ=1时，方程组有无穷多解，且通解为x=，k为任意常数；③当λ=时，方程组无解． 涉及知识点：线性代数
24． 设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1[0，1，1，0]T+k2[－1，2，2，1]T．(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．
正确答案：(1)线性方程组(Ⅰ)的解为，得所求基础解系ξ1=[0，0，1，0]T，ξ2=[－1，1，0，1]T．(2)将方程组(Ⅱ)的通解代入方程组(Ⅰ)，得=>k1=－k2．当k1＝－k2≠0时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，且为x=－k2[0，1，1，0]T+k2[－1，2，2，1]T=k2[－1，1，1，1]T=k[－1，1，1，1]T，其中k为任意非零常数． 涉及知识点：线性代数
25． 设γ1，γ2，…，γt和η1，η2…ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．
正确答案：必要性由γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关，知存在k1，k2，…，kt，l1，l2，…，ls不全为零，使得k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0．令ξ=k1γ1+k2γ2…+ktγt，则ξ≠0(否则k1，k2，…，kt，l1，l2，…，ls全为0)，且ξ=－l1η1－l2η2－…－lsηs，即非零向量考既可由γ1，γ2，…，γt表示，也可由η1，η2，…，ηs表示，所以Ax=0和BX=0有非零公共解．充分性若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为ξ≠0，则ξ=k1γ1+k2γ2+…+ktγt且ξ=－l1η1－l2η2－…－lsηs，于是，存在k1，k2，…，kt不全为零，存在l1，l2，…，ls不全为零，使得k1γ1+k2γ2…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0．从而γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关． 涉及知识点：线性代数
26． 已知α1=[1，2，－3，1]T，α2=[5，－5，a，11]T，α3=[1，－3，6，3]T，α4=[2，－1，3，a]T．问：(1)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；(2)a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；(3)a为何值时，α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．
正确答案：故 (1)a=4或a=12时，α1，α2，α3，α4线性相关；(2)a≠4，a≠12时，α1，α2，α3，α4线性无关；(3)a=4时，α4可由α1，α2，α3线性表出．得α4=α1+α3． 涉及知识点：线性代数
27． 已知问λ取何值时，(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式唯一；(2)β可由α1，α2，α3线性表出，但表达式不唯一；(3)β不能由α1，α2，α3线性表出．
正确答案：(1)λ≠0且λ≠－3，β可由α1，α2，α3线性表出，且表出法唯一；(2)λ=0时，β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式不唯一；(3)λ=
－3时，β不能由α1，α2，α3线性表出． 涉及知识点：线性代数
28． 设向量组α1=[a11，a21，an1]T，α2=[a12，a22，…，an2]T，…，αs=[a1s，a2s，ans]T．证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)．
正确答案：α1，α2，…，αs(线性无关)线性相关(不)存在不全为0的x1，x2，…，xs，使得x1α1+x2α2+…+xsαs=0成立(没)有不全为0的x1，x2，…，xs，使得 =0成立齐次线性方程组有非零解(唯一零解)． 涉及知识点：线性代数
29． 已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表示式的系数全不为零．证明：α1，α2，αs，β中任意s个向量线性无关．
正确答案：用反证法．设α1，α2，…，αs，β中任意s个向量组α1，α2，…，αi－1，αi+1，…，αs，β线性相关，则存在不全为零的k1，k2，…，ki－1，ki+1，…，ks，k，使得k1α1+…+ki－1αi－1+ki+1αi+1+…+ksαs+kβ=0． ①另一方面，由题设β=l1α1+l2α2+…+liαi+…+lsαs，其中li≠0，i=1，2，…，s．代入上式，得(k1+kl1)α1+(k2+kl2)α2+…+(ki－1+ki+1)αi－1+kliαi+(ki+1+kli+1)αi+1+…+(ks+kls)αs=0．因已知α1，α2，…，αs线性无关，从而由kli=0，li≠0，故k=0，从而由①式得k1，k2，…，ki－1，ki+1，ks均为0，矛盾．故α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关． 涉及知识点：线性代数
30． 已知向量组α1，α2，…，αs+1(s＞1)线性无关，βi=αi+tαi+1，i=1，2，…，s．证明：向量组β1，β2，…，βs线性无关．
正确答案：设有数k1，k2，…，ks，使得k1β1+k2β2+…+ksβs=0成立，即k1(α1+tα2)+k2(α2+tα3)+…+ks(αs+tαs+1)=k1α1+(k1t+k2)α2+(k2t+k3)α3+…+(ks－1t+ks)αs+kstαs+1=0．因α1，α2，……，αs+1线性无关，故得唯一解k1=k2=…=ks=0，故β1，β2，…，βs线性无关． 涉及知识点：线性代数
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容