通项拼凑法证明n元不等式

２０１０年第６期　Ｌ　…一　．、，Ｊ　通项拼凑法证明　元不等式　王建荣　（汀两师范大学鹰潭学院数学系，３３５０００）　中图分类号：０ｌ２２．３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０ｌ０）０６—００１１—０２　ｎ元不等式（尤其是分式、根式不等式）　的证明是比较复杂的问题，有些命题不知从　何处下手，根本就没有一一个同定方法．笔者在　研究中发现，利用通项拼凑法，有时可以达到　事半功倍的效果．所谓通项拼凑法，是指把要　收稿日期：２００９—０９一Ｏ１　求证的ｎ元不等式看成一个ｎ项数列，通过　对该数列的通项公式进行拆、拼、凑，使之成　为一个独立的相关不等式，然后加以证明．这　样可使问题变得非常清晰．下面通过几道例　题的证明介绍此方法，供读者参考．　４．试找｝｝｛方程　一５１Ｙ　＝１的一组正整　１　＋２　＋．　数解．　提示：　＝５１Ｙ　＋１　６　设　！　：　ｎ　＝，７　．则　４９ｙ　＋１４ｙ＋１＋２ｙ　一１４３＇　（７ｙ＋１）　＋２ｙ（Ｙ一７）．　２ｎ　＋３ｎ＋１＝６ｍ　．　令Ｙ＝７．得　＝５０．　５．证明：存　无穷多对正整数（　，ｎ），　使得　１＋２＋…＋　＝（ｋ＋１）＋（ｋ＋２）＋…＋ｎ．　即　（４ｎ＋３）。一３（４ｍ）　＝ｌ。　令　＝４ｎ＋３，Ｙ＝４ｍ，得到佩尔方程　２ｇ　３ｖ　：１．　本题可以看作是佩尔方程满足　；３（ｍｏｄ　４）和Ｙ－＝０（ｒ－ｏｏｄ　４）　（第２６届ＩＭＯ预选题）　提示：已知等式町化为　２（２　＋１）　＝（２ｎ＋１）　＋１．　的解．　３ｙ　＝１的解为　令　＝２ｎ＋ｌ，ｙ＝２ｋ＋１．　＋√３Ｙ　＝（２＋√３）　．　Ｆｈ此可得递推公式　Ｘｋ＋￣４ｘｋ＋￣　＝２ｘｋ　＋３ｙｋ’Ｘｋ＋Ｉ－－Ｘｋ２ｙ　．　进而＇Ⅲ　得佩尔方程　一２ｙ　＝一１，有基本解　（　Ｙ）＝（１，１）．　从而，原方程有无穷多组解．　６．证明：有无穷多个正整数１２，使平均数　±　±　ｎ　为完全平方数第１个这样　再由Ｘ　、Ｙ　的前几项及递推公式可得　｛　（ｒｏｏｄ　４）｝和｛Ｙ　（ｒｏｏｄ　４）｝是以４为周期　的数当然是１．请写　紧接在１后面的两个　这样的正整数．　（第３１届ＩＭＯ预选题）　提示：注意到　的模周期数列，进一步分析可得当且仅当　ｋ－－２（ｒｏｏｄ　４）时，有　３（ｒｏｏｄ　４）和　Ｙ－－０（ｒｏｏｄ　４），进而求出接在１后面的两个　正整数是３３７和６５　５２１．　１２　中等数学　ｎ例ｌ　已知　．，　，…，　（ｎ≥３）是满足　，７￣－１∑　ｍ　＝１（ｍ为正整数）的正实数．求证：　一　奎　，　Ｌ（　：ｌ２，…，ｎ）．　’‘一　。　Ｉ　ｉ＝１　。　证明注意到　＋　＋…＋　ｍ＋（，ｎ＋２）；ｍ　￣Ｉ２＿　＋　ｍ＋Ｚ厂———————————————一＝■＿＿——一一　≥（ｍ＋２）√　…　（ｍ＋２）　（ｍ＋２）　．　所以，戈　≥　‘，ｎ＋ｌ　（　“　２‘　ｍ＋２）　（ｉ＝１，２，…，ｎ）．　贝０　≥　（；　ｌ一　＋　）　［（　）　一奎ｉ＝１　：】　ｍ＋１　１　∑　。≤　‘ｍ　＋ｌ　ｍ“．　故　≥　ｍ＋　１　Ｉ　∑　ｍｎ‘　＋ｌ　ｍｆ＋一（、　凡≥３）当且仅当　＝（ｍ＋２）一　（ｉ＝１，２，…，ｎ）　且ｎ：ｍ＋２时，上式等号成立．　例２（ｎ元无理分式不等式）若ｚ　＞０　（ｉ＝１，２，…，　），求证：　ｉ　＝１（　ｃ　）．①　厶　一Ｘｉ　＝Ｉ　ｊ　证明（、　∑　）　≥　ｎ　ｎ√ｎ—　１　．　＋（ｎ－１）（　）　将上面各式全　加得式①成立．　当且仅当　．＝　＝…＝ｚ　Ｈ，ｆ，式①等号　成立．　例３　（ｎ元分式不等式）已知　，　，　∈Ｒ＋．求证：　≥　，①　∑　一　¨　其中，Ａ＝　ｊ＋　２＋…＋　，ｍ≥２．　证明　＋　∑　一　Ｌ　，ｎ　一　∑　一　　一≥２（　）宁　厂　（～ｎ　字卦　芋】　（鲁厂　（鲁）丁：　２Ａ　一　所以，式①成立．　根据以上三题的证明，可以总结出通项　拼凑法的“　要“：　要看：看题型（共性）、看特征（个性）．　二要猜：猜“通项”能否表示成一个独立　的相关的不等式，因为猜想是发明创造的先　导，所以，要大胆地猜，当然与平时积累有关．　三要拆、拼、凑：通过观察和猜想，有技巧　地把通项进行拆、拼、凑成一个独立的相关的　不等式，经过不断调整直到成功为止．　这种方法也可以用来解其他命题．