全等三角形证明经典50题（含答案）
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A B
D
C
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE 3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 A 1 2 B E C F D 证明：连接BF和EF。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 ∠EBF=∠BEF。又因为 ∠ABC=∠AED。所以 ∠ABE=∠AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 专业整理分享 WORD完美资料编辑 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC 5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A A 1 2 F C D E B B D C 证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB， AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥ AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF＝90° 因为EB＝EF，CE＝CE， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS） 所以AD＝AF 所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 专业整理分享 WORD完美资料编辑 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C AB//ED,AE//BD推出AE=BD, E D 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB， C F 所以:∠C=∠F A B 14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD 的交点）。 则：△AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC是等腰三 B C 角形所以：角B=角C. 15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PC B 16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证： AC-AB=2BE ∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE交AC于F 因为，∠1 =∠2，BE⊥AE 所以，△ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC 作AG∥BD交DE延长线于G D AGE全等BDE AG=BD=5AGF∽CDF C AF=AG=5 F 所以DC=CF=2 A E B 专业整理分享 WORD完美资料编辑 PDAC 18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 延长AD至H交BC于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC 19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA 20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线 交AP于D．求证：AD+BC=AB． 证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，C∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°， E又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BBEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF 与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 证明：在AB上找点E，使AE=AC∵AE=AC，∠EAD=∠CAD， AAD=AD∴△ADE≌△ADC。DE=CD， ∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B BD 专业整理分享 WORD完美资料编辑 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． EBB分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论． 解答：解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF． 23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： (1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是A知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。 （2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 D O C 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． 证明：延长BA、CE，两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° F在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC A∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE E∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, D∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE C25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 专业整理分享 WORD完美资料编辑 DEFCABA26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF BF∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM∴AM是△ABC的中线. EMC 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDBA相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC 28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD ∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在 △BDF与△FDC中 BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC 29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。 AFBDCADBC因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE FBE CD30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB ∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上. 证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF 专业整理分享 WORD完美资料编辑 中 BE=CF（已知） ∠B=∠C（已证） EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E，M，F在同一直线上 31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明： ∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF ∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS） 32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。 D 连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等 E 腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF A C得AE=AF F B 33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠6 34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． 因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等 35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD． 证明：因为 AB=AC， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB C F B E 专业整理分享 A125E6B34CDD A WORD完美资料编辑 BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BE＝CD 36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． AAS证△ＡＤＥ≌△ADF E F A B C D 37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？ A 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC≌△DAE AD=AB=5 38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C 又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形 ∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC 39.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC ⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： Ｄ C 求证： Ｅ 证明： A B 已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以△ADB全等于△BCA 所以角D=角C 以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以 2(∠A+∠D)=360°， ∠A+∠D=180°，所以 AB//DC 40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D， 专业整理分享 E B C D AEBMFC WORD完美资料编辑 求证： ①ADC≌CEB；BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， ②DEADBE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. （1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD； （2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE； 41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF F （1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角 A E BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以 三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F （2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角M F(已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直B C BF 42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。 证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，AN4∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，3CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN F（2） E∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠M2BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN 1C 43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 连接BF、CE， 证明△ABF全等于△DEC（SAS）， 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF B 专业整理分享 WORD完美资料编辑 44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD 45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF． 证明：∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE， ∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF 46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． 求证：AB∥CD． C 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，在D Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，F ∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD． E A B 47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD AD 【待定】 . 1234 BC 48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论. C 结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB由已知条件 D 知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB A B E 专业整理分享 WORD完美资料编辑 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE 49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE. 先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB A D 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE B E C 专业整理分享 WORD完美资料编辑 50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C 证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG= D ∠DCG=45°∵∠ACB=90° F AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥A D∴∠ACF+∠DCF=90° A ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵ AC=CB ∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE E 图9 B 专业整理分享 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容