2015-2016学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（ ） A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）} C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D． ，
2．若a＞b，则下列命题成立的是（ ） A．ac＞bc
B．
C．
D．ac2≥bc2
3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260 f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052 那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）
A．k＞4？
B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？
，③y=|x2﹣2x|，④
5．给定函数①，②，其中在区间
（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
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6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a 7．函数
的图象的大致形状是（ ）
A． B． C．
D．
8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）
A．B．C．D．＞甲＜甲＜甲＞
甲，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
乙
9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）
A． B． C． D．
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10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（ ） A．C．D．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，0） （﹣4，0） （﹣4，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11．已知函数
则
的值是 ．
12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图
130﹚，[130，140﹚，[140，（如图）．由图中数据可知a= ．若要从身高在[120，
150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ．
13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为 ．
14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）
15．若函数
16．关于函数
有以下四个命题：
的图象关于y轴对称，则a= ．
①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；
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②函数f（x）是偶函数；
③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立； ④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共40分. 17．已知函数
的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的
定义域为集合B．
（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁RB；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：
（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．
19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，
．
（Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．
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2]时，（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，的值；
（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，
，求
，求证：函
数在（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围．
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2015-2016学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（ ） A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）} C．M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1} D． ，【考点】集合的相等．
【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A； 根据两个集合相等，元素相同，排除B
先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C
先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D 【解答】解：
A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，故排除
B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除
C：M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x|﹣1＜x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除 D：∵=∴，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D 故答案为D
【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题
2．若a＞b，则下列命题成立的是（ ） A．ac＞bc
B．
C．
D．ac2≥bc2
【考点】不等式的基本性质． 【专题】计算题．
【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a＞b，由于c2≥0，故有 ac2≥bc2，故D成立．
【解答】解：∵a＞b，故当c=0时，ac=bc=0，故A不成立． 当b=0 时，显然B、C不成立．
对于a＞b，由于c2≥0，故有 ac2≥bc2，故D成立． 故选D．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
3．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625 第6页（共19页）
f（1.25）=﹣0.984 f（1.438）=0.165 f（1.375）=﹣0.260 f（1.4065）=﹣0.052 那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【考点】二分法求方程的近似解． 【专题】应用题．
【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项
【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C， 故应选C
【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题
4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）
A．k＞4？
B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 1/
第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4 故答案选A．
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【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程
①分支的条件②循环的条件③变量的序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：
赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．给定函数①
，②
，③y=|x2﹣2x|，④
，其中在区间
（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：①y=
，x增大时，
增大，即y增大；
∴该函数在（0，1）上单调递增； ②
，x增大时，x+1增大，
减小；
∴该函数在（0，1）上单调递减； ③
；
∴x∈（0，1）时，y=﹣x2+2x，对称轴为x=1； ∴该函数在（0，1）上单调递增； ④
，∴指数函数
在（0，1）上单调递减；
∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④． 故选：B．
【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．
6．已知a=，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（ ） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a 【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用指数函数的单调性即可判断出． 【解答】解：∵
∴b＞c＞a． 故选A．
【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．
，
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7．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象． 【专题】数形结合．
【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案． 【解答】解：∵y=
=
当x＞0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，
当x＜0时，其图象是函数y=﹣ax在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状， 比较各选项中的图象知，C符合题意 故选C．
【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．
8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
＞甲＜甲＜甲＞
甲，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定 乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
乙
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【考点】茎叶图．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．
【解答】解：根据茎叶图有： ①甲地树苗高度的平均数为乙地树苗高度的平均数为
=28cm， =35cm，
∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；
②甲地树苗高度分布在19～41之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右， 乙地树苗高度分布在10～47之间，不是明显的单峰分布，相对分散些； ∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些； 故选：B．
【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是基础题．
9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．
【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图， 可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，
结合所给的选项， 故选：C．
【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．
10．已知函数f（x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（ ） A．C．D．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，0） （﹣4，0） （﹣4，+∞） 【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
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【分析】由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到a（x+a）（x﹣2a+1）＜0对x≥1
均成立，得到a满足的条件，求解不等式组可得答案．
【解答】解：由g（x）=2x﹣2＜0，得x＜1，故对x≥1时，g（x）＜0不成立， 从而对任意x≥1，f（x）＜0恒成立， 由于a（x﹣a）（x+a+3）＜0对任意x≥1恒成立，如图所示，
则必满足，
解得﹣4＜a＜0．
则实数a的取值范围是（﹣4，0）． 故选：C．
【点评】本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11．已知函数
则
的值是 ﹣2 ．
【考点】函数的值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】将x=代入函数的表达式，求出函数值即可． 【解答】解：f（）=
=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．
12．从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= 0.03 ．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 3 ．
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【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计．
【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解． 【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1， ∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1， 解得a=0.03．
由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人． 其中身高在[140，150]内的学生人数为10人， 所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为
×10=3人．
故答案为：0.03，3．
【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于
13．已知0＜x＜1.5，则函数y=4x（3﹣2x）的最大值为
．
．
【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可． 【解答】解：∵y=4x（3﹣2x）=﹣8x2+12x=﹣8（x﹣）2+， ∴当x=时，函数取得最大值， 故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．
14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，以此实验数据1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为
平方米．（用分数作答）
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【考点】模拟方法估计概率．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．
【解答】解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为360颗，
记“黄豆落在正方形区域内”为事件A， ∴P（A）=∴S不规则图形=故答案为：
=， 平方米， ．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关． 15．若函数
的图象关于y轴对称，则a= ．
【考点】函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x）的定义域关于原点对称，从而求得a的值．
【解答】解：由于函数数，
故函数f（x）的定义域关于原点对称，故a=﹣， 故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．
16．关于函数
有以下四个命题：
的图象关于y轴对称，故该函数为偶函
①对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1； ②函数f（x）是偶函数；
③若T为一个非零有理数，则f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
第13页（共19页）
④在f（x）图象上存在三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．
【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用． 【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质； ④取x1=﹣
，x2=0，x3=
，可得A（
，0），B（0，1），C（﹣
，0），三点恰好构
成等边三角形．
【解答】解：对于①，若x是有理数，则f（x）=1，则f（1）=1，若x是无理数，则f（x）=0，则f（0）=1，
即对于任意的x∈R，都有f（f（x））=1；故①正确，
对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是偶函数，故②正确；
对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
对于④，取x1=﹣∴A（
，x2=0，x3=
，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0， ，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
，0），B（0，1），C（﹣
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
三、解答题：本大题共4小题，共40分. 17．已知函数
的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的
定义域为集合B．
（Ⅰ）当m=3时，求A∩∁RB；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出； （Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由
的定义域得A={x|﹣1＜x≤5}．
当m=3时，B={x|﹣1＜x＜3}， 则∁RB={x|x≤﹣1或x≥3}． 所以A∩∁RB={x|3≤x≤5}．
（Ⅱ）因为A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，
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所以有﹣42+2×4+m=0． 解得m=8．
此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意． 所以m=8．
【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．
18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：
（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用． 【专题】图表型；概率与统计． 【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；
（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可． 【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天， 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为
．…
（2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d． 样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c）， （b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f）， （d，e），（d，f），（e，f），共15个．
其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个， ∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为
．
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【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．
19．已知定义域为R的单调减函数f（x）是奇函数，当x＞0时，
．
（Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f（x）是奇函数，求f（0）的值； （Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是减函
数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数， 所以f（0）=0．
（Ⅱ）因为当x＜0时，﹣x＞0， 所以
．
又因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）． 所以
．
综上，
（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）． 因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．
即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立．
方法一令3t2﹣2t﹣k=0，则△=4+12k＜0．由△＜0，解得方法二即k＜3t2﹣2t对任意t∈R恒成立．令g（t）=3t2﹣2t，t∈R 则
故实数k的取值范围为
．
∴
．
【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题．
20．定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．
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2]时，（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，的值；
（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，
，求
，求证：函
数在（1，+∞）上无零点；
（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围． 【考点】函数的值．
【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，（x）为二阶伸缩函数，由此能求出（Ⅱ）当x∈（1，3]时，上无零点．
（Ⅲ）当x∈（kn，kn+1]时，
，由此得到
，当x∈
，从而f（的值． ，由此推导出函数
在（1，+∞）
）=，由此能求出函数f
（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）． 【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，
，
∴．
∵函数f（x）为二阶伸缩函数， ∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）． ∴． （Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，
由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）． ∵x∈（1，3]时，∴
．
．
． 令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内． ∴函数在（1，+∞）上无零点．
（Ⅲ） 由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x）， 且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）． ∴当x∈（kn，kn+1]时，
．
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∵，所以．
∴当x∈（kn，kn+1]时，f（x）∈[0，kn）． 当x∈（0，1]时，即0＜x≤1， 则∃k（k≥2，k∈N*）使
，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）． 又
，∴
，即
．
∵k≥2，
∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，kn）． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
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2016年3月12日
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