数学理卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测(答案详解)(2017.05)

成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A{0,1}，B{x(x+2)(x1)0,xZ}，则AB（ ）

A．{2,1,0,1} B．{1,0,1} C．{0,1} D．{0}

2．已知复数z126i,z22i．若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B，线段AB的中点C对应的复数为z，则z（ ）

A．5 B．5 C．25 D．217 3．在等比数列{an}中，a12，公比q2．若ama1a2a3a4(mN)，则m（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8

4．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的

AQI指数值为201．则下列叙述不正确的是（ ）

A．这12天中有6天空气质量为“优良” B．这12天中空气质量最好的是4月9日 C．这12天的AQI指数值的中位数是90 D．从4日到9日，空气质量越来越好

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x2y25．已知双曲线C:221(a0,b0)，直线l:y2x2．若直线l平行于双曲线C的一条渐近

ab线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（ ） A．1 B．2 C．5 D．4

6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的

ai(i1,2,,15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）

A．6 B．7 C． 8 D．9

7．已知A{(x,y)x2y22}，B是曲线ysinx与x轴围成的封闭区域．若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（ ） A．

2424 B． C． 3 D．3

8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）

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A．

3311 B． C． D． 222229．已知抛物线C:ymx(x0)的焦点为F，点A(0,3)．若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且FM:MD1:2，则点M的纵坐标为（ ）

A． B．133232 C．  D． 333210．已知函数f(x)2cos2x2．给出下列命题：①R,f(x)为奇函数；②(0,3)，4f(x)f(x2)对xR恒成立；③x1,x2R，若f(x1)f(x2)2，则x1x2的最小值为；

4④x1,x2R，若f(x1)f(x2)0，则x1x2k(kZ)．其中的真命题有（ ） A．①② B．③④ C． ②③ D．①④

11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．27 B．48 C． 64 D．81

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm113,Sm0,Sm115，其中mN且m2．则数列

1的前n项和的最大值为（ ） anan1A．

241246 B． C． D． 1431431313第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．(2x16)的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） x----完整版学习资料分享----

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xy014．若变量x,y满足约束条件xy30，则z3xy的最小值为 ．

0x315．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 ．（用数字作答）

16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 ．

三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2ca2bcosA． （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b23，求ac的最大值．

18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，DE2．M为线段BF上一点，且DM平面ACE．

（Ⅰ）求BM的长；

（Ⅱ）求二面角ADMB的余弦值的大小．

19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占

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为“私有”等．

为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表： 年龄 受访人数 支持发展 共享单车人数 （Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

支持 不支持 合计 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 [15,20) 5 4 [20,25) 6 5 [25,30) 15 12 [30,35) 9 9 [35,40) 10 7 [40,45) 5 3 （Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 参考数据：

P(K2k) 0.50 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 k 0.455 20.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 10.828 n(adbc)2参考公式：K，其中nabcd．

(ab)(cd)(ac)(bd)20．已知圆C:(x1)y8，点A(1,0),P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E． （Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）若直线l:ykxm与曲线E相交于M,N两点，O为坐标原点，求MON面积的最大值． 21．已知函数f(x)1nx22a1,aR． x----完整版学习资料分享----

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（Ⅰ）若关于x的不等式f(x)（Ⅱ）设函数g(x)1x1在[1,)上恒成立，求a的取值范围； 2f(x)2，若g(x)在[1,e]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负． x请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．已知曲线C的极坐标方程为2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面

2tx2直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）． y352t2（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

1x'x（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换:2得到曲线C'，若M(x,y)为曲线C'上

y'y任意一点，求点M到直线l的最小距离． 23．已知f(x)xa,aR．

（Ⅰ）当a1时，求不等式f(x)2x56的解集；

（Ⅱ）若函数g(x)f(x)x3的值域为A，且[1,2]A，求a的取值范围．

试卷答案

一、选择题

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1-5:BABCB 6-10:DDADC 11、12：CD

二、填空题

13．-160 14．-3 15．5040 16．33 三、解答题

17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sinCsinA2sinBcosA． ∵C180(AB)，∴2sin(AB)sinA2sinBcosA． 化简，得sinA(2cosB1)0． ∵sinA0，∴cosB∵0B，∴B1． 23．

（Ⅱ）由已知及余弦定理，得a2c2ac12． 即(ac)3ac12． ∵ac,c0， ∴(ac)23(2ac2)12，即(ac)248． 2∴ac43，当且仅当ac23时，取等号． ∴ac的最大值为43．

18．解：（Ⅰ）∵底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60， ∴ACBD，且AC23，BD2． ∵四边形BDEF是矩形，∴DEBD． ∵平面BDEF平面ABCD，平面BDEF∴DE平面ABCD，AC平面BDEF． 记AC平面ABCDBD，

BDO．取EF中点H，则OH//DE．

∴OH平面ABCD．

如图，以O为原点，分别以OB,OC,OH的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz． 由题意，得B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(1,0,0)，A(0,3,0)，E(1,0,2)，F(1,0,2)． ∴AC(0,23,0)，AE(1,3,2)．

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∵M为线段BF上一点，设M(1,0,t)(0t2)． ∴DM(2,0,t)．

∵DM平面ACE，∴DEAE． ∵DEAE202t0．解得t1． ∴M(1,0,1)． ∴BM1．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可知AC平面BDEF． ∴AC平面DMB．

AD(1,3,0)，AM(1,3,1)．

设平面ADM的法向量为n(x,y,z)．

nAD0x3y0由，得． nAM0x3yz0取y1，则n(3,1,23)． ∵cosn，ACnAC231，

|n||AC|42341． 4∴二面角ADMB的余弦值为

19．解：（Ⅰ）根据所给数据得到如下22列联表： 支持 不支持 合计 年龄低于35岁 30 5 35 2年龄不低于35岁 10 5 15 合计 40 10 50 根据22列联表中的数据，得到K的观测值为

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50(305105)2k2.382.706．

(3010)(55)(305)(105)∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．

（Ⅱ）由题意，年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在[20,25)的6个受访人中，有5人支持发展共享单车． ∴随机变量X的所有可能取值为2，3，4．

111121C4C5C4C5C4C5726∵P(X2)22，P(X3)，， P(X4)2215C5C615C5C615∴随机变量X的分布列为

X 2 3 4 7 1527649∴随机变量X的数学期望E(X)234． 15151515P 2 156 1520．解：（Ⅰ）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|AQ||PQ|． 又|CP||CQ||QP|22，∴|CQ||QA|22|CA|2．

∴曲线E是以坐标原点为中心，C(1,0)和A(1,0)为焦点，长轴长为22的椭圆．

x2y2设曲线E的方程为221(ab0)．

ab∵c1,a2，∴b2211．

x2y21． ∴曲线E的方程为2（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)．

ykxm222联立x2消去y，得(12k)x4kmx2m20．

2y12此时有16k28m280． 由一元二次方程根与系数的关系，得

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2m224km，x1x2． x1x22212k12k∴|MN|1k21k24km22m22()412k212k212k2|m|1k28(2k2m21)．

∵原点O到直线l的距离d，

∴SMON21m2(2k2m21)． |MN|d212k2由0，得2k2m210．又m0，∴据基本不等式，得

SMON2m2(2k2m21)2． 12k22222k21当且仅当m时，不等式取等号．

2∴MON面积的最大值为21．解：（Ⅰ）由f(x)即ax1nx2． 21a1x1，得1nx1x1． 2x212x在[1,)上恒成立． 21设函数m(x)x1nxx2，x1．

2则m'(x)1nxx1． 设n(x)1nxx1． 则n'(x)11．易知当x1时，n'(x)0． x∴n(x)在[1,)上单调递增，且n(x)n(1)0． 即m'(x)m'(1)0对x[1,)恒成立． ∴m(x)在[1,)上单调递增．

∴当x[1,)时，m(x)m(x)minm(1)∴a1． 211，即a的取值范围是(,]． 22----完整版学习资料分享----

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1nxa12，x[1,e2]． xxx11nx12a2xx1nx2a∴g'(x)． 2323xxxx（Ⅱ）g(x)设h(x)2xx1nx2a，则h'(x)2(11nx)11nx． 由h'(x)0，得xe．

当1xe时，h'(x)0；当exe2时，h'(x)0． ∴h(x)在[1,e)上单调递增，在(e,e]上单调递减． 且h(1)22a，h(e)e2a，h(e)2a． 显然h(1)h(e)．

结合函数图象可知，若g(x)在[1,e]上存在极值，

2222h(e)0h(1)0则或． 2h(1)0h(e)0（ⅰ）当h(e)0e，即1a时，

2h(1)022则必定x1,x2[1,e]，使得h(x1)h(x2)0，且1x1ex2e．

当x变化时，h(x)，g'(x)，g(x)的变化情况如下表：

x h(x) g'(x) g(x) ∴当1a∵g(x1)(1,x1) - - ↘ x1 0 0 极小值 (x1,x2) + + ↗ x2 0 0 极大值 (x2,e2) - - ↘ e2时，g(x)在[1,e]上的极值为g(x1),g(x2)，且g(x1)g(x2)． 21nx1a1x11nx1x1a2． 2x1x1x1x1设(x)x1nxxa，其中1ae，1xe． 2∵'(x)1nx0，∴(x)在(1,e)上单调递增，(x)(1)a10，当且仅当x1时取等号．

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∵1x1e，∴g(x1)0． ∴当1ae2时，g(x)在[1,e]上的极值g(x2)g(x1)0． 2h(1)0（ⅱ）当，即0a1时， 2h(e)02则必定x3(1,e)，使得h(x3)0．

2易知g(x)在(1,x3)上单调递增，在(x3,e]上单调递减．

ae20． 此时，g(x)在[1,e]上的极大值是g(x3)，且g(x3)g(e)4e22∴当0a1时，g(x)在[1,e]上的极值为正数． 综上所述：当0a2e2时，g(x)在[1,e]上存在极值，且极值都为正数． 22注：也可由g'(x)0，得2a2xx1nx．令h(x)2xx1nx后再研究g(x)在[1,e]上的极值问题．

2tx222．解：（Ⅰ）由消去参数t，得yx35． y352t2即直线l的普通方程为xy350． ∵xcos，ysin， ∴xy4．

即曲线C的直角坐标方程为xy4．

222221x'xx2x'（Ⅱ）由，得． 2yy'y'yy'21． 代入方程xy4，得x'4222已知M(x,y)为曲线C'上任意一点，故可设M(cos,2sin)，其中为参数． 则点M到直线l的距离

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d|cos2sin35|2|5cos()35|，其中tan2

2∴点M到直线l的最小距离为35510． 223．解：（Ⅰ）当a1时，不等式即为|x1||2x5|6． 当x1时，不等式可化为(x1)(2x5)6，∴x0； 当1x当x5时，不等式可化为(x1)(2x5)6，∴x； 25时，不等式可化为(x1)(2x5)6，∴x4． 2综上所述：原不等式的解集为{x|x0或x4}． （Ⅱ）∵||xa||x3|| |xa(x3)||a3|， ∴f(x)|x3||xa||x3|[|a3|,|a3|] ． ∴函数g(x)的值域A[|a3|,|a3|]．

∵[1,2]A，∴|a3|1．

|a3|2解得a1或a5．

∴a的取值范围是(,1][5,)．

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