高等代数学习心得

　　古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。

　　1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义：

　　{x|x属于无穷多个An}.“无穷多”是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到m'>m,使得x也属于m'，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述的描述翻译成数学的语言就是：对于任给的n，总能找到一个m>n，使得x属于Am，再换成集合论的表示方式就非常简单了。

　　2、至于下极限，它可以定义为：除去集列中有限个下标外，属于集列中每个集合的元素之全体所组成的集合。类比数学分析中的ε-N语言，假设有限个下标中最大的那个下标为n，则对于任意的k>n，总有x属于Ak，将这段话翻译成集合论的语言应该是非常容易的事情了。

　　3、为什么单调列一定存在极限?以单调递增集合列为例：因为是升列，故Ak(k=n,n+1,...)的交集就等于An，这样下极限就化为：∪Ak(k=1...∞)，而Ak(k=n,n+1,...)的并集也等于∪Ak(k=1...∞)，这是因为Ak是升列，所以在前面再并上有限项并不影响最终的结果，从而上极限也化为了∪Ak(k=1...∞)，故上下极限相等，极限存在且为∪Ak(k=1...∞)。单调减集合列与此类同。