高等数学3知识点总结

　　1、关于极限的知识点，首先当然是极限的定义了。数列的极限有ε-N定义：

　　设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，记作：lim(n->∞)an=a. 对应的还有数列发散的定义。

　　函数极限则有趋于无穷的定义：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作：lim(x->+∞)f(x)=A. 对应的有趋于负无穷和趋于无穷的定义。

　　另外，函数极限还有趋于x0的定义：设f在某空心邻域U(x0;δ’)内有定义， A为定数.若对任给的ε>0，存在正数δ(<δ’)，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作：lim(x->x0)f(x)=A.

　　2、然后是极限的性质，不管是数列极限，还是函数极限，都有唯一性，有界性，保号性，保不等式性和迫敛性五个性质。以函数极限为例，唯一性比较好理解，就是极限是唯一的，不可以同时存在两个极限。其它四个性质分别为：

　　局部有界性：若lim(x->x0)f(x)存在，则f在x0的某空心邻域U(x0)内有界.

　　局部保号性：若lim(x->x0)f(x)=A>0(或<0), 则对任何正数r<A(或r<-A)存在U(x0)有：f(x)>r>0(或f(x)<-r<0)..

　　保不等式性：若lim(x->x0)f(x)与lim(x->x0)g(x)都存在，且在某邻域U(x0;δ’)内有：f(x)≤g(x)，则lim(x->x0)f(x)≤lim(x->x0)g(x).

　　迫敛性：设lim(x->x0)f(x)=lim(x->x0)g(x)=A, 且在某U(x0;δ’)内有：f(x)≤h(x)≤g(x)，则lim(x->x0)h(x)=A.

　　其它类型的极限性质类似，可自己模仿写出来。

　　数列极限和函数极限还有相同的四则运算法则，即：函数(或数列)和差积商的极限等于极限的和差积商，其中作为除数的函数(或数列)或极限不等于0。

　　3、接下来是极限存在的条件，即收敛的条件：

　　(1)单调有界定理：以数列极限为例，在实数系中，有界的单调数列收敛，且其极限是它的上(下)确界. 函数极限的单调有界定理只针对单侧极限。

　　(2)柯西收敛准则：以函数极限为例，设f在U(x0;δ’)内有定义。lim(x->x0)f(x)存在的充要条件是：任给ε>0,存在正数δ(≤δ’)，使得对任何x’, x”∈U(x0;δ)有|f(x’)- f(x”)|<ε.

　　(3)函数极限与数列极限之间的桥梁，是归结原则：

　　设f在U(x0;δ’)内有定义。lim(x->x0)f(x)存在的充要条件是：对任何包含于U(x0;δ’)且以x0为极限的数列{xn}， lim(x->∞)f(xn)都存在且相等.

　　函数极限的单侧极限，即左极限和右极限，都有对应的归结原则。

　　关于极限存在的条件还有很多，但未必都是充要条件，只能靠平时学习中多加积累。

　　4、常用的极限。

　　最重要的是无穷小量，可以理解为等于0的极限。当两个无穷小量的比等于1时，我们就称它们为等阶无穷小量，可以在求极限时，进行等价替换。比如x和sinx是等阶无穷小量，记做x~sinx，或sinx~x.

　　有一些常用的等阶无穷小量必须牢记，其中最常用的有：x~sinx~tanx和x^2~(cosx)^2/2. 而 x~sinx更是构成了第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 要注意它与lim(x->∞)sinx/x的区别，后者是无穷小量与有界量的积，结果等于0.

　　第二个重要极限是：lim(x->∞)(1+1/x)^x=e，它还有数列极限的形式：lim(n->∞)(1+1/n)^n=e. 它涉及到一类未定式极限1^∞，只要是这种类型的极限，都与e有关。

　　与无穷小对应的是无穷大量，不过无穷大量的倒数就是无穷小量，所以我们可以把它们统一起来，求无穷大量有关的极限时，都可以先把无穷大量化为无穷小量来解。

　　5、最后一个问题是极限的应用。极限的应用非常广泛，我们在极限这一章中，主要是用它来求函数图像的渐近线。这方面的详细内容请自行补充。