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湖南省重点中学高三月考试卷一理数样稿

2024-07-16 来源：飒榕旅游知识分享网



高三月考试卷（一）

理科数学

本试题卷包含选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．复数(2＋i)i虚部是

A．1 B．－1 C．2 D．2i

2．命题“xR,x22x30”否定是

A．xR,x22x30 B．xR,x22x30

C．xR,x22x30 D．

3．

4．下图是一个几何体三视图，依据图中数据，可得该几何体表面积是

A．6π B．7π C．8π D．9π



5．在△ABC 中，AB＝3，AC＝5，若O 为△ABC 外心，则AO BC




A．34 B．16 C．8 D．0

6．已知变量x，y 满足

x





2

4

0

，则y x

最大值是

y

y



0

A．4 B．2 C．1 D．1

2

7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中

m，n＞0)，则1

2

最小值等于

m


n


A．16 B．12 C．9 D．8

8．已知f(x)是定义在R上函数，f(1)＝10，且对于任意x∈R全部有f(x＋20)≥f(x)＋20，f(x＋

A．20 B．10 C．1 D．01)≤f(x)＋1，若g(x)＝f(x)＋1－x，则g(10)＝

（一）必做题(9~13题)

9．某程序框图图所表示，则实施该程序，输出结果a＝ ．




10．在区间[0，1]上任取两实数a，b，则使a＋b≥1概率为 ．

11．已知曲线y＝3x2＋2x在点(1，5)处切线和直线2ax－y－6＝0平行，则a＝ ．

12．过抛物线y2＝4x 焦点F 作斜率为4 3

直线交抛物线于A、B 两点，若



AF



FB

(

1)

，则λ

＝ ．

13．图所表示，将数以斜线作以下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)，(16，24，

20，14，9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，

（2）第n群中n个数和是： ．www.taodocs.com（1）第7群中第2项是： ；

（二）选做题(14~16题，考生只能选做两题，三题全答，只计算第14、15题得分)

14．(坐标系和参数方程)在极坐标系中，定点A(2，π)，动点B 在直线

sin(


)

4

2

上运

2

动，则线段AB最短长度为 ．

15．(几何证实选讲)图，在半径为2⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB中点，AD延长线交⊙O于点E，

则线段DE长为 ．




16．(优选法选讲)用0.618法选择试点过程中，假如试验区间为[2，4]，前两个试点依次为x1，

x2，若x1处试验结果好，则第三试点值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

17．(本小题满分12分)

3

已知a＝(sinx，－cosx)，b(cos , 3 cos )，函数f xa b ．

2

（1）求f(x)最小正周期；

（2）当初0x

，求函数f(x)值域．

18．(本小题满分12 分)

某工厂第一季度生产A，B，C，D 四种型号产品产量用条形图表示图，现用分层抽样方法从中选择

50件样品，参与四月份一个展销会．

（1）问A，B，C，D型号产品各抽取多少件？从50件样品中随机抽取2件，求这两件产品恰好是

不一样型号产品概率；

（2）从A，C 型号产品中随机抽取3 件，用ξ 表示抽取A 种型号产品件数，求ξ 分布列和数学



期望．

19．(本小题满分12分)
图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．

（1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
（2）当AD长等于多少时？二面角B1－DC－C1大小为60°．

交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力20．(本小题满分13分)

型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每十二个月投入量比上十二个月增加50%，混合动力型车每十二个月比上十二个月多投入a辆．

（1）求经过n年，该市被更换公交车总数S(n)；（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a最小值．

21．(本小题满分13分)
已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴两个端点恰为一个正

方形顶点，过右焦点F 和x 轴不垂直直线l 交椭圆于P，Q 两点．（1）求椭圆方程；



（2）在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得以MP，MQ为邻边平行四边形是菱形？若存在，求出m

取值范围；若不存在，请说明理由．

22．(本小题满分13分)

已知f(x)＝lnx－ax2－bx．

（1）若a＝－1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b取值范围；

（2）当a＝1，b＝－1时，证实函数f(x)只有一个零点；

（3）f(x)图象和x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，AB中点为C(x0，0)，求证：f′(x0)

＜0．



理数答案

一、 选择题

1-5C B A B C 6-8 C D B

二、填空题

9、答案：127 10、答案：1 2

11、答案：4 12、答案：4

13、答案：（1）96 （2）3·2n－2n－3 14、答案：3 2 2

15、 答案：3 5
5

16、答案：3.528 或2.472（填一个即可）

三、解答题

17、解析：（1）∵

1

sin 2

x

3

(cos2

x

1)

3

………………3 分

2


2






2

sin(2

x


)

3

． ………………5 分

∴函数f(x)最小正周期为π． ………………6 分

（2）∵0

x

，∴

2

x

2

，………………8 分



2

3





3


3



∴

3

sin(2

x


)

3

1

， ………………11 分


2

即f(x)值域为

[

3

,1]

． ………………12 分

2


18、解析：（1）从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为





50

1

，

500


10


所以A，B，C，D四种型号产品分别取

1

100

10,

1

200

20,

1

50

5,

1

150

15

，

10





10





10





10






即样品中应抽取A产品10件，B产品20件，C产品5件，D产品15件．……………3分

从50 件产品中任取2 件共有

C

2

1225

种方法，

50

2 件恰为同一产品方法数为

C 10 2

C

2

C

2

C 15 2

350

种，

20

5

所以2 件恰好为不一样型号产品概率为

1

350

5

． ………………6 分

1225

7

（

2）

P

0)

C

3
5

2

，

P

1)

C 1

10

C

2

20

，

P

2)

C 10 2

C 1

5

45

，

5


C 15 3

91


C 15 3



91





C 15 3


91

P

3)

C 10 3

24

， ………………10 分


C 15 3


91

所以ξ 分布列为

Ewww.2  2． ………………12 分

91 91 91

19、解析：解法一：（1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．

又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．

∴B1C1⊥CD． ① …………2分

由D 为中点可知，

DC

DC 1

2

，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②

由①②可知CD⊥平面B1C1D，又CD平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．……6分

（2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥平面CD，交CD或延长线于E，

连接EB1．

由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1－DC－C1平面角，∴∠B1EC1＝60°．……8分



由B1C1＝2，知

C E1

2 3

，设AD＝x，则

DC

x

2

1

．

AD

2

．……12 分

3

∵△DCC1 面积为1，∴

1

x

2



2 3

1

，解得

x

2

，即

2

3

解法二：（1）图所表示，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，1)，

即

由
CB

CDC B
uu
1

ur u
1

uu
(0,2,0),

ur

(1,0,1)(0,2,0)
DC1(1,0,1),

0
CD

000，得CD⊥C1B1．

uu u u r uu u u uu

由 uu u

uu u uu u r

（2）设AD＝a，则D点坐标为(1，0，a)，CD(1,0,), aCB 1(0,2,2)．

uu u r

设平面B1CD法向量为m＝(x，y，z)，则由



m

m


CB

CD
u
uu 1


0
0


2
x

y


az

2z


0

0
．

令z＝－1，得m＝(a，1，－1)．

又平面C1DC 法向量为n＝(0，1，0)，则由

cos60 o

m n

a

1

2

1

，

m n

2

2

即

a

2

，故

AD

2

． …………12 分

20、解析：（1）设an，bn 分别为第n 年投入电力型公交车，混合动力型公交车数量，

3

依题意，{an}是首项为128，公比为150% 等比数列，

2




{bn}是首项为400，公差为a等差数列．

{a}前n 项和

S


128 [1

( ) ] 3 n

2

3
256[( )

n

1]

，

n


n


1

3

2





{b}前n 项和

T n


2

a

．





400

n

n n

1)

n




2







所以经过n年，该市更换公交车总数为

S n ( )

S


T

3
256[( )

n

1]

400

n

n n

1)

a

． …………7 分




n


n


2








2




（2）若计划7年内完成全部更换，所以S(7)≥10000，

所以

3
256[( )

7

1]

400

7

7

6

a

10000

，即21a≥3082，所以

a

146

16


．



2



















2













21



又a∈N*，所以a最小值为147．…………13分

21、解析：（1）b＝c＝1，

a

2


．…………4 分

由



x ，可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0．

yk x1)

∴

x 1

x 2

1

4

k

2

2

,

x x 1 2

2

k

2

2

． ………………8 分

2

k

1

2

k

2

u u u r

MP

(

x 1

m y 1

),

u u u r

MP

(

x 2

m y

2

),

u u u

PQ

(

x 2

x y 1

2

y 1

)

，其中x2－x1≠0．

以MP，MQ 为邻边平行四边形是菱形

(

u u u r

MP

u u u u

MQ )

u u u

PQ

(

u u u r

MP

u u u u

MQ )

u u u

PQ

0

(

x 1

x 2

2 , m y 1

y 2

)(

x 2

x y 1

2

y 1

)

0




(

x 1

x 2

2 )( m x 2

x 1

)

(

y 1

y

2

)(

y 2

y 1

)

0

(

x 1

x 2

2 )

k y 1

y

2

)

0

(
1

4

k

2

2

2

k

2

(
1

4

k

2

2

2)

0

2

k


2

k

(

k

0)


2

k

2

(2

4

k

2

)

m

0

m

1

k

2

k

2



2




∴

0

m

1

． …………13 分


2




22、解析：（1）依题意：f(x)＝lnx＋x2－bx．

∵f(x)在(0，＋∞)上递增，∴

f

( )

1

2

x

b

0

对x∈(0，＋∞)恒成立，




x


即

b

1

2

x

对x∈(0，＋∞)恒成立，只需

b

(

1

2 )


． …………2 分



x




x

min

∵x＞0，∴1 x2 x2 2，当且仅当初x

2
2

取“＝”，

∴b2 2，∴b 取值范围为(,2 2]

（2）当a＝1，b＝－1 时，f(x)＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

∴fwww.taodocs.com

∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0．

∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减．…………6分∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)＝ln1－12＋1＝0；
当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0，∴函数f(x)只有一个零点．…………8分

（3）由已知得





f x 1

)

ln

x 1

ax 1 2

bx 1

0





ln

x 1

ax 1 2

bx 1

，

)

ln

0

ln

f x 2

x 2

ax 2 2

bx 2

x 1

ax 1 2

bx 1

两式相减，得

ln

x
x2

a x 1

x 2

)(

x 1

x 2

)

b x 1

x 2

)

ln

x 1

(

x 1

x 2

)[ ( a x 1

x 2

)

b

]

．…………10 分



x 2





由

f

( )

1

2

ax

b

及2x0＝x1＋x2，得

x


f

(

x 0

)

1

2

ax 0

b

x 1

2

x 2

[ ( a x 1

x 2

)

b

]

x 1

2

x 2

x 1

1


lnx 1

x 2

x 0


x 2

x 2

[

2(

x 1

x 2

)

ln

x 1

]

x 1

1

x 2


2(

x 1

1)

ln

x 1

]

x 1

1

[

x 2

x 1

x 2

x 2


(

x 1

1)

x 2

令

t

x 1

, ( )



x 2

2 t

2

ln (0

t

1)

．

x 2

t

1


1)

2

0

，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0．

∵( )



( t

t t

1)

2

∵x1＜x2，∴f′(x0)＜0．…………13分
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