微分方程特解。
发布网友
发布时间：2022-04-23 17:26
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热心网友
时间：2023-10-10 22:03
你要特解，其实特解和你的通解是有关系的，我就把一般算法给你总结出来了，是我自己的复习笔记，呵呵。
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根：
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）
第二步：通解：
若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：特解：
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。
最后结果就是y=通解+特解
通解的系数C1，C2是任意常数
有问题可以再问我，拿例子的话好说明问题。
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热心网友
时间：2023-10-10 22:04
这是一个一阶线性微分方程，
完全可以应用通解公式求解。
下面用一个特殊方法求解：
令u=y-f(x)+1，则
u'=y'-f'(x)=f'(x)[f(x)-y-1]=-u·f'(x)
这是一个可分离变量的微分方程，
/u=-f'(x)dx
两边同时积分得到：
ln|u|=-f(x)+C1
∴u=C·e^[-f(x)]
【其中，C=±e^C1】
∴y-f(x)+1=C·e^[-f(x)]
∴原方程的通解为
y=C·e^[-f(x)]+f(x)-1
