高数 微分方程 通解 特解

发布网友 发布时间:2022-04-23 17:26

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热心网友 时间:2023-10-10 22:04

若求得:y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的两个线性无关的特解:u(x),v(x),则 非齐次方程:
y" - p(x)*y' - q(x)*y = t(x)
的通解公式为:
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * t(s) ds.
这里的微分方程为:f '' (x) - f(x) = cos x,齐次部分:y '' - y = 0.
特征方程为:x^2 - 1 = 0. x = 1 和 x = -1.
所以,基础解系 u(x) = e^x,v(x) = e^(-x). t(x) = cosx,代入通解公式计算,就能够得到方程的通解为:f(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-x) - 1/2 * cosx.
【注:
∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * t(s) ds.
通解公式中,这个部分计算出来的就是 -1/2 * cos x ,就是特解.

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热心网友 时间:2023-10-10 22:04

因表达式为cosx
设待定特解为y=Acosx+Bsinx(这是固定用法,A,B为待定系数)
代入微分方程y''-y=cosx得:-Acosx-Bsinx-Acosx+Bsinx=cosx
即,-2Acosx-2Bsinx=cosx
比较系数得到-2A=1,-2B=0
特解为y=-(1/2)cosx

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