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很显然的事情,既然是可导的周期函数,那就意味着函数在任意一个周期的闭区间内可导,可导的前提是连续,而闭区间上的连续函数存在最值是连续函数的基本性质之一。
严格的证明思路大致为:
(1)根据有界性定理,闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必定存在上下确界,不妨设上确界为M,只需要证明存在ξ,使f(ξ)=M。
(2)反证法,若不存在,则有:M-f(x)>0。
构造函数:g(x)=1/[M-f(x)]
同样的,连续函数g(x)存在上确界,设为N
有:0 <g(x)=1/[M-f(x)]≦N
得到:f(x)≦M-1/N
这与M是f(x)的上确界矛盾。
类似可证明存在最小值。