二次函数有哪些运用？
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发布时间：2022-04-22 18:27
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时间：2023-10-24 16:16
【本讲的重点、难点和关键】
重点：二次函数的性质及其应用。
难点：二次函数的应用。
关键：掌握准二次函数的性质，利用坐标系建立起数与形的统一观点。 【知识要点及讲解】
1、我们知道：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，就得到y＝2(x＋3)2－5的图象。那么，通过平移函数y＝ax2的图象也可得到y＝ax2＋bx＋c的图象。
先将y＝ax2＋bx＋c用配方法化为：y＝a(x＋h)2＋k的形式，即：
y＝ax2＋bx＋c＝
＝
＝
＝
可见，函数y＝ax2＋bx＋c的图象是由函数y＝ax2的图象向左 或向右 平移 个单位，再向上 或向下 平移 个单位而得到。这其中h＝ ，k＝ ，所以顶点坐标是 ，对称轴是平行于y轴的直线x＝－ 。
当a＞0时，抛物线的开口向上，它们的顶点是最低点，这时函数y有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，它们的顶点是最高点，这时函数y有最大值。还应指出顶点横坐标即x等于什么数时，函数产生最值，对应的顶点纵坐标就是函数y最值的大小，而函数有最大值还是最小值取决于a的正负。所以，
二次函数y＝ax2＋bx＋c有如下性质：
(1)顶点坐标是 。
(2)对称轴是直线x＝－ 。
(3)开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
(4)最值：如果a＞0，函数有最小值，当x＝－ 时， ；如果a＜0，函数有最大值，当x＝－ 时， 。
(5)增减性(函数值y随自变量x的变化规律)：
①a＞0时，当x＜－ (在对称轴左侧)，y随x的增大而减小；当x＞－ (在对称轴右侧)，y随x的增大而增大。
②a＜0时，当x＜－ (在对称轴左侧)，y随x的增大而增大，当x＞－ (在对称轴右侧)，y随x的增大而减小。
2、二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c中，如果y＝0，那么就有ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是关于x的一元二次方程。
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实根。
这里Δ＞0，Δ＝0说明在实数范围内存在这样的x的值使ax2＋bx＋c＝0成立；Δ＜0说明在实数范围内不存在这样的x的值使ax2＋bx＋c＝0成立，即ax2＋bx＋c≠0。
其实，这里ax2＋bx＋c＝0中的两实根x1，x2，就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点的横坐标。也就是说，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
因此，我们可总结出以下几点：
(1)用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解。
(2)用ax2＋bx＋c＝0根的判别式判断抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点情况：
①当Δ＞0 时，抛物线与 x 轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)。
②当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点 ，也可以说成是抛物线与x轴相切。
③当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点。此时，若a＞0，图象全在x轴上方，即开口向上，与x轴无交点；a＜0，图象全在x轴下方，即开口向下，与x轴无交点。
(3)a，b，c符号与抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置关系。
如：若a＞0，b＜0，c＞0，
反过来，若：
则有a＜0，b＜0，c＜0。
【例题分析】
例1：已知二次函数y＝3x2－12x＋1；
(1)当x为何值时，y随x增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(2)这个二次函数有最大值还是最小值？当x为何值时，函数取得最大值或最小值？并求出最大或最小值。
解：(1)因为y＝3x2－12x＋1＝3(x2－4x＋4－4)＋1＝3(x－2)2－11
所以，该抛物线顶点坐标为(2，－11)，对称轴为直线x＝2，
因a＝3＞0，抛物线开口向上，
所以，当x＞2时，y随x增大而增大，
当x＜2时，y随x的增大而减小，
(2)因为a＝3＞0，所以y有最小值，
当x＝2时，y最小＝－11。
例2：已知y＝x2－2(m＋1)x＋2(m－1)；
(1)当m＝1时，写出抛物线的解析式并指出开口方向、顶点坐标、对称轴与x轴交点坐标。
(2)求证：不论m为何值抛物线必与x轴交于两点。
(3)m为何值时，这两点分布在原点左右两旁？
(4)m为何值时，抛物线的对称轴是y轴？
解：(1)∵m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2－4x，
∵a＝1，b＝－4，c＝0，
∴－ ＝2， ＝－4，
∵a＝1＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，－4)，对称轴为直线x＝2，
当y＝0即x2－4x＝0时，则x＝0或x＝4，
∴此抛物线与x轴交点坐标为(0，0)，(4，0)。
(2)证明：∵Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4×1×2(m－1)
＝4m2＋8m＋4－8m＋8＝4m2＋12＝4(m2＋3)＞0
∴无论m取何值抛物线必与x轴相交于两点。
(3)不妨设该抛物线与x轴两交点为(x1，0)，(x2，0)，
根据题意，则有x1·x2＜0，
∵x1·x2＝2(m－1)
∴2(m－1)＜0
∴m＜1
故，当m＜1时，这两点分布在原点左右两旁。
(4)∵该抛物线的对称轴为：x＝－ 即x＝m＋1，
依题意，应有x＝m＋1＝0
∴m＝－1，
∴当m＝－1时，抛物线的对称轴是y轴。
例3：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，如图所示：
(1)确定a，b，c和b2－4ac的符号。
(2)求OA·OB的值。
(3)求ΔABD的面积。
解：(1) 由图象可知，开口向下，所以，a＜0，
图象与y轴交点在x轴上方，所以，c＞0，
对称轴x＝－ 在y轴右侧，所以，－ ＞0，
∴b＞0，
图象与x轴有两个交点，所以，b2－4ac＞0。
(2)设A，B两点坐标为A(x1，0)，B(x2，0)，
∴OA＝－x1(因x1＜0)， OB＝x2，
∴OA·OB＝－x1x2＝－ 。
(3)AB＝OA＋OB＝－x1＋x2
＝
＝
＝
＝
∵a＜0
∴AB＝－ ，OD＝c，
∴ 。
例4：利用函数图象求一元二次方程x2＋2x－4＝0的近似解。(精确到0.1)
解：设有二次函数y＝x2＋2x－4，列表并作出它的图象，
如图所示：
观察图象和x轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为－3.2和1.2，得此方程的精确到0.1的近似解为：x1≈－3.2，x2≈1.2
例5：如图，矩形ABCD的边AB＝6cm，BC＝8cm，在BC边上取一点P(P与B、C点不重合)，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角；
(1)设BP＝xcm，CQ＝ycm，试以x为自变量，写出y与x之间的函数关系式。
(2)当P点在什么位置时，CQ取得最大值？
(3)求CQ的最大值。
解：(1)∵∠B＝∠C＝90°，∠APQ＝90°，
∴根据同角的余角相等得：∠BAP＝∠CPQ，
∴ΔABP∽ΔPCQ，
∴ ，
∵AB＝6cm，BP＝x，
∴PC＝8－x
∴ ，
∴y＝－ ，
∵P与B、C不重合，
∴0＜x＜8，
(2)因为a＝－ ＜0，
所以，当x＝－ ＝4时，y有最大值即当点P为BC中点时，CQ取得最大值。
(3)CQ的最大值为： ，
所以，CQ的最大值为 cm。 【巩固练习】
1、填空。
(1)抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x＝ 时，函数有最 值，最值y＝ 。
(2)抛物线y＝2－3x2＋ 6x的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x＝ 时，函数有最 值，最值y＝ 。
(3)已知二次函数y＝x2－7x＋12，当 x 时，y随x增大而减小；当y＞0时，x的取值范围是 ；当3＜x＜4时，y的取值范围是 。
(4)已知二次函数y＝x2＋5x＋4，则二次函数图象与y轴交点A的坐标为 ，与x轴两个交点坐标B为 ，C为 ，ΔABC的面积为 。
2、已知二次函数y＝－ ；
(1)当自变量x在什么范围内取值时，y随x增大而增大？x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？
(2)此二次函数有没有最值？若有，当x取何值时，函数取得最值？并求出最值。
3、求证:不论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴相交于不同的两点，且求这两点间距离最小时二次函数的解析式。
4、二次函数y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C，线段OA与OB的长的乘积等于6(O是原点)；
(1)求m的值。
(2)写出二次函数解析式。
(3)求ΔABC的面积。
5、如图，在边长为8cm的正方形ABCD的边BC上任取一点M(M不与B、C重合)，在CD上取一点N，使∠AMN＝90°，设BM＝x，CN＝y，求：
(1)y与x之间函数关系，指出自变量取值范围。
(2)点M在什么位置时，CN取得最大值并求出此最大值。
(3)画出这个函数的大致图象。
6、周长为6米的日窗框，如何设计边长才能使射入的阳光最充足？
7、一名运动员投铅球，铅球刚出手时离地面 米，铅球到达最高点时距地面3米，恰距该运动员的水平距离为4米，铅球轨迹是抛物线，求此运动员投铅球的成绩是多少米？
【巩固练习答案与提示】
1、
(1)上；(1，2)；x＝1；1；小；2。
(2)下；(1，5)；x＝1；1；大；5。
(3)x＜ ；x＜3或x＞4；y＜0。
(4)(0，4)；(－4,0)，(－1，0)；6。
2、(1)x＜3时，y随x增大而增大；x＞3时，y随x增大而减小。
(2)∵a＝－ ＜0，
∴此函数有最大值，
当x＝－ ＝3时， 。
3、证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值，该二次函数图象都与x轴交于不同的两点，
设两交点坐标为A(x1，0)，B(x2，0)，
∴AB＝|x1－x2|＝ ，
由于a2－4a＋8是a的二次函数，不妨设m＝a2－4a＋8，AB最小即m最小，
∴当a＝－ ＝2时，m有最小值即AB最小，
∴二次函数解析式为y＝x2＋2x。
4、解：(1)不妨设A、B两点的坐标为A(x1，0)，B(x2，0)，
∴OA＝|x1|，OB＝|x2|，
∴OA·OB＝|x1x2|＝6，
∵x1x2＝3(m＋1)，
∴3(m＋1)＝±6
∴m＝－3或m＝1。
(2)当m＝－3时，y＝－x2－5x－6，
当m＝1时，y＝－x2－x＋6。
(3)当m＝－3时，C(0，－6)，A(－3，0)，B(－2，0)，
∴ AB·OC＝ ×1×6＝3，
当m＝1时，C(0，6)，A(－3，0)，B(2，0)，
∴ AB·OC＝ ×5×6＝15。
5、(1) (0＜x＜8)。
(2)M在BC中点时，CN最大，最大值为2。
(3)
6、解：依题意，设“日”字形的窗宽为x米，则长为 (6－3x)，设窗的面积为y，
∴ ，
当窗的面积最大时，才能使射入光线最充足，
∴当x＝－ ＝1，y有最大值，此时， (6－3x)＝1.5，
∴当窗的长和宽分别为1.5米和1米时，射入的光线最充足。
7、解：建立直角坐标系，如图所示：
依题意，A点坐标为 ，顶点B的坐标为(4，3)，
所以，设此二次函数解析式为：y＝a(x－4)2＋3，
把 代入解之得：a＝－ ，
∴y＝－ ，
由于当铅球落地时，y＝0，设C(x0，0)，
∴－ ＝0 解之得：x0＝－2或x0＝10，x0＝－2不合题意，舍去，
∴x0＝10，
故铅球运动员成绩为10米。
