二次函数与几何
发布网友
发布时间：2022-04-22 19:15
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-25 22:29
二次函数的表达式有三种形式如下：
1.一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；
2.顶点式：y=a(x-h)^2+k，其抛物线的顶点为P（h，k）；
3.交点式：y=a(x-x)(x-x)，交点式仅适用于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线；
二次函数的定义
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c，则称y为x的二次函数。其中，a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI（a的绝对值）还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的图像性质
1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴；对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P；
2.抛物线有一个顶点P，其坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上；
3.二次项系数a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI（a的绝对值）还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大；
也就是说，对于抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大；若a<0则相反；
那么我们可以得到抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值为(4ac-b^2)/4a，可以总结为：顶点的横坐标是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标是最值的取值；
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
1）当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
2）当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
5.常数项c决定抛物线与y轴的交点（0，c）；
6.抛物线与x轴交点个数：
1）Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
2）Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
3）Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
热心网友
时间：2023-10-25 22:30
二次函数的表达式有哪3种形式.
拓展资料如下：
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。二次函数表达式为y=ax²+bxc（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。11世纪阿拉伯的花拉子密地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
