急求！！！一道数学二次函数

发布网友 发布时间：2022-04-22 18:52

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热心网友 时间：2023-07-11 00:17

先易后难，依次进行。

未完待续

求三角形面积的最大值:

未完待续

第三小题就是总结上述两题的过程:

如此便求出这个三角形面积的最大值

供参考，请笑纳。

热心网友 时间：2023-07-11 00:17

1.解：由题知抛物线对称轴x=-b/2a=1,代入抛物线求出y=1,即A点坐标为(1，1)，联立两式可求出B点坐标为(2，0)，C点坐标为(-1，-3)。

直线AB斜率k₁=(0-1)/(2-1)=-1，直线BC斜率k₂=1,k₁k₂=-1，所以直线AB与直线BC垂直。

2.解：设P点坐标为(x,-x²+2x),-1<x<2,则P点到直线BC的距离

d=｜x-(-x²+2x)-2｜/√(1²+(-1)²)=｜x²-x-2｜/√2=｜(x-2)（x+1）｜/√2.

当-1<x<2时，(x-2)(x+1)<0,所以d=√2(-x²+x+2)/2。

三角形面积S=1/2xBCxd=1/2x3√2x√2(-x²+x+2)/2=3/2(-x²+x+2).

函数是开口向下的二次函数，对称轴x=1/2,所以在x=1/2时，S取得最大值，此时S=27/8，y=3/4。所以在直线BC上方的抛物线上存在点P使得△PBC面积最大，此时P点坐标为(1/2，3/4)。

第三题和第一题第二题一样，先联立两函数，求出BC两点的坐标代数式，然后根据P点在抛物线上设P点坐标为(x,ax²+bx+c),因为P点在直线BC上方的抛物线上，所以P点横坐标x在BC两点之间，既x大于C点横坐标，小于B点横坐标。

然后根据点到直线距离公式求出P点到直线BC的距离d(也就是三角形PBC的高)。根据BC两点坐标求出BC两点距离，代入三角形面积公式S=1/2xBCxd，就会得到一个关于x的二次函数。在x的取值范围内看二次函数是否有最大值，若存在，此时x就是P点横坐标。

根据第一题和第二题，x取值范围在BC两点横坐标之间，同时二次函数S的两个零点也是在BC两点横坐标处取得，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，而对称轴就是两零点横坐标和的1/2，所以Xp=(Xc+Xb)/2