如何用微积分知识推导球的体积公式?

发布网友 发布时间:2022-04-21 08:19

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热心网友 时间:2023-09-08 11:47

1、Disk Method——圆盘法:

2、Shell Method——球壳法:

3、General Method——一般法:

扩展资料:

微积分相关:

(1)定积分和不定积分

积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,定积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数。

其中:

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分和不定积分的定义迥然不同,定积分是求图形的面积,即是求微元元素的累加和,而不定积分则是求其原函数,而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系(详见牛顿-莱布尼茨公式)。

(2)常微分方程与偏微分方程

含自变量、未知函数和它的微商(或偏微商)的方程称为常(或偏)微分方程。未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程。未知函数为多元函,从而出现多元函数的偏导数的方程,称为偏微分方程。

参考资料来源:百度百科 - 微积分

参考资料来源:百度百科 - 球体

热心网友 时间:2023-09-08 11:48

楼主等一会,给你三种详细推导(证明)方法,给你做个图片。 

不好意思,电脑出了点问题,现在才能将图片传上。几分钟后即可见到。

热心网友 时间:2023-09-08 11:48

x=Rcost,y=Rsint, 0<=t<=pi/2

是第一象限内的圆弧参数方程,你如果愿意当然也可以用普通方程。

那么它和坐标轴围成的四分之一圆绕x轴旋转能形成一个半球,因此

可知半径为R的球的体积为:

V=2∫(0,pi/2)pi*(Rsint)^2d(Rcost)
=2pi*R^3∫(0,pi/2)(1-cos^2t)dcost
=2pi*R^3*(cost-cos^3t/3)|(0,pi/2)
=2pi*R^3*[(cos0-(cos0)^3/3)-(cospi/2-(cospi/2)^3/3)]
=2pi*R^3*(1-1/3)
=4pi*R^3/3

热心网友 时间:2023-09-08 11:49

你可以把球看成是由无数个球壳组成的,每个球壳的面积为4派r的平方,将面积函数积分就是体积了,积分限为0到R。

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