证明一个函数处处可导
发布网友
共2个回答
热心网友
题目条件肯定写错了，应该是f(x+y)=f(x)f(y)。
看结论就知道要你证明的是f(x)=e^x，一种办法就是利用函数方程外加连续性逐步解出来，另一种就是直接做。
条件1用来得到
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。
接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)
热心网友
这题有问题吧
f(x+y)=f(x)+f(y)，得到f(0)=0
f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1
得到x趋向于0时，f(x)=1
所以不可导
