平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+4a+c 与x轴交于点A、B,与y轴...
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发布时间：2024-10-05 01:55
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时间：2024-10-10 09:15
（1）y=x 2 -4x+3；（2）存在， ；（3）（2，2- ）或（2，2+ ）.
试题分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．
试题解析：：（1）抛物线的对称轴为直线x=
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，3），
∴ ，
解得 ，
∴此抛物线的解析式y=x 2 -4x+3；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x 2 -4x+3）=-x 2 +3x=-（x- ） 2 + ，
∵点Q在x轴下方，
∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴当x= 时，PQ的长度有最大值 ；
（3）如图，设△ABC的外接圆的圆D，
则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，
∴点D的坐标为（2，2），
∴外接圆的半径为 ，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，
点M在点D的下方时，M 1 （2，2- ），
点M在点D的上方时，M 2 （2，2+ ），
综上所述，M（2，2- ）或（2，2+ ）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．
考点: 二次函数综合题.
