闭包在离散中
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发布时间：2024-10-01 02:08
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在离散数学中，闭包（Closure)概念用于描述关系R的扩展，使其满足特定性质，如自反性、对称性或传递性。通过增加最少的有序对，形成新的有序偶集，这个集即为关系R的闭包。
设R为集合A上的二元关系，其闭包R'需满足以下条件：R'是自反的（对称的、传递的），包含R，并且对于任何满足条件的集合R"，若R"包含R，则R"亦包含R'。
在描述关系R的闭包时，通常使用r(R)、s(R) 和t(R)分别表示其自反、对称、传递闭包。复合性质表明闭包运算具有可结合性：ts(R)即为R的对称传递闭包，而tsr(R)表示R的自反对称传递闭包。
性质表明，闭包运算在满足特定性质的集合上保持其性质不变。具体而言，如果R自反，那么其对称和传递闭包也自反；如果R对称，那么其自反和传递闭包也对称；如果R传递，那么其自反闭包保持传递性。
最后，复合性质3描述了闭包运算的对称性以及闭包间的包含关系：rs(R)与sr(R)相等，rt(R)与tr(R)相等，且ts(R)包含st(R)。这些性质为理解关系闭包提供了关键视角。
