如图,抛物线y=- x 2 + x-2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点...
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发布时间：2024-10-23 08:14
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（1）直线BC的解析式为y= x﹣3；
（2）△BCF的面积为10；
（3）在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似， P点坐标为（2，﹣1）或（ ，﹣ ）．
试题分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，C所在直线的函数解析式；
（2）根据勾股定理可得BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；
（3）存在．分两种情况讨论：①过A作AP 1 ⊥x轴交线段BC于点P 1 ，则△BAP 1 ∽△BOC；②过A作AP 2 ⊥BC，垂足点P 2 ，过点P 2 作P 2 Q⊥x轴于点Q．则△BAP 2 ∽△BCO；依此讨论即可求解．
试题解析：（1）当y=0时，﹣ x 2 + x﹣2=0，
解得x 1 =2，x 2 =4，
∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0），
当x=0时，y=﹣2，
∴C点的坐标分别为（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则 ，
解得 ．
∴直线BC的解析式为y= x﹣3；
（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，
∴∠ECD=90°，
∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2），
∴BC= =2 ，
∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，
∴△BCF的面积= BC?FC= ×2 ×2 =10；
（3）存在．分两种情况讨论：
①过A作AP 1 ⊥x轴交线段BC于点P 1 ，则△BAP 1 ∽△BOC，
∵点A的坐标为（2，0），
∴点P 1 的横坐标是2，
∵点P 1 在点BC所在直线上，
∴y= x﹣2= ×2﹣2=﹣1，
∴点P 1 的坐标为（2，﹣1）；
②过A作AP 2 ⊥BC，垂足点P 2 ，过点P 2 作P 2 Q⊥x轴于点Q．
∴△BAP 2 ∽△BCO，
∴ ,
∴ ，
解得AP 2 = ，
∵ ，
∴AP 2 ?BP=CO?BP 2 ，
∴ ×4=2BP 2 ，
解得BP 2 = ，
∵ AB?QP 2 = AP 2 ?BP 2 ，
∴2QP 2 = × ，
解得QP 2 = ，
∴点P 2 的纵坐标是﹣ ，
∵点P 2 在BC所在直线上，
∴x= ，
∴点P 2 的坐标为（ ，﹣ ），
∴满足条件的P点坐标为（2，﹣1）或（ ，﹣ ）．
