设H为锐角三角形ABC的垂心,由点A向以BC为直径的圆作切线AP,AQ,切点分 ...

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这个好像是CMO的题目吧？？96年的第一题

题图在下方，给一个简单的证明思路过程，就不详写了

设AB、AC分别与以BC为直径的半圆O交于E、F。设A到BC的垂足为D。连结AO交PQ于G。连结OP、OQ。

∵AP、AQ是半圆O的切线，

∴AO⊥PQ、OP⊥AP、OQ⊥AQ。

∴A、P、O、Q四点共圆。

∵由于H是垂心，

∴BF⊥AC，CE⊥AB，AD⊥BC。

∴AG·AO=AQ²(∵△AQO∽△AGQ)=AF·AC (由圆幂定理得到)=AH·AD (∵H、D、F、C四点共圆或者△AFD∽△ADC)

（不知道圆幂定理的话其实可以用相似的直角三角形的边长比例取代）

∴H、D、O、G四点共圆，∴∠HGO=180°-∠HDO=180°-90°=90°

∵AO⊥PQ，∴∠PGO=90。∴∠HGO=∠PGO，∴P、G、H三点共线。