已知数列{an}中,a0=2,a1=3,a2=6,且对n≥3时,有an=(n+4)an-1-4nan-2...
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发布时间：2024-10-23 10:34
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时间：2024-10-24 05:15
（Ⅰ） 证明：由条件，得an-nan-1=4[an-1-（n-1）an-2]-4[an-2-（n-2）an-3]，
则an+1-（n+1）an=4[an-nan-1]-4[an-1-（n-1）an-2]．…2分
即bn+1=4bn-4bn-1．又b1=1，b2=0，所以bn+1-2bn=2（bn-2bn-1），b2-2b1=-2≠0．
所以{bn+1-2bn}是首项为-2，公比为2的等比数列． …4分b2-2b1=-2，所以bn+1-2bn=2n-1（b2-2b1）=-2n．
两边同除以2n+1，可得bn+12n+1?bn2n＝?12．…6分
于是{bn2n}为以12首项，-12为公差的等差数列．
所以bn2n＝b12?12(n?1)，得bn＝2n(1?n2)．…8分
（Ⅱ）an-2n=nan-1-n2n-1=n（an-1-2n-1），令cn=an-2n，则cn=ncn-1．
而c1=1，∴cn=n（n-1）?…?2?1?c1=n（n-1）?…?2?1．
∴an=n（n-1）?…?2?1+2n． …12分nan=n?n?（n-1）?…?2?1+n2n=（n+1）!-n!+n?2n，
∴Sn=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×22+…+n×2n）．…14分
令Tn=1×2+2×22+…+n×2n，①
则2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1．②
①-②，得-Tn=2+22+…+2n-n×2n+1，Tn=（n-1）2n+1+2．
∴S^＝(n+1)!+(n?1)2n+1+1．…16分．
