设f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为( )A.limh→01h2f(1?cosh)存...
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发布时间：2024-11-05 14:49
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时间：2024-11-05 15:12
∵f（0）=0，∴f′(0)＝limx→0f(x)x，∴f′（0）存在?f′?(0)＝limx→0?f(x)x＝limx→0+f(x)x＝f′+(0)
（1）选项A，∵h→0时，1-cosh～h22，且1-cosh≥0，
∴limh→0f(1?cosh)h2＝limh→0f(1?cosh)1?cosh?1?coshh2令t＝1?cosh.12limt→0+f(t)t，
这样，若f′（0）存在，则有limh→0f(1?cosh)h2存在；但反过来不成立，因为A成立，只能得到f′+（0）存在．
∴选项A不正确
（2）选项C，∵h→0时，h-sinh～h22，且h-sinh≥0，
∴limh→0f(h?sinh)h2＝limh→0f(h?sinh)h?sinh?h?sinhh2＝12limt→0+f(t)t，
这样又转化成选项A的情形，
∴选项C不正确．
（3）选项D，举反例f（x）=sgnx（符号函数），显然满足题目f（0）=0和选项D的要求，但f（x）在x=0处不连续，因而f（x）在x=0处不可导，
∴选项D也不正确．
（4）选项B，∵h→0时，1-eh～h
∴limh→0f(1?eh)h＝limh→0f(1?eh)1?eh?1?ehh令t＝1?eh.limt→0f(t)t
∴选项B正确
故选：B．
