如何求一阶线性齐次微分方程的通解
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发布时间：2024-11-05 14:38
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热心网友
时间：2024-11-05 15:24
一阶线性齐次微分方程 y' + p(x)y = 0
则 dy/dx = -p(x)y, dy/y = -p(x)dx,
lny = - ∫p(x)dx + lnC, 得通解 y = Ce^[-∫p(x)dx]
热心网友
时间：2024-11-05 15:24
一阶线性齐次微分方程的通解：
举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3
解：
∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)³
(x-2)dy=[y 2*(x-2)³]dx
(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx
[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
y/(x-2)=(x-2)² C (C是积分常数)
y=(x-2)³ C(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³ C(x-2)(C是积分常数)。
含义
解的特点：一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解；一阶非齐次：两个解的差是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的解。
通解的结构：一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解；一阶非齐次：y＝y*＋Cy1，其中y*是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解。
