基础数论学习笔记(11)- Wilson's Theorem 威尔逊定理
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发布时间：2024-10-24 09:55
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时间：2024-11-13 20:30
本节内容将会介绍基础数论中的一个常用定理——威尔逊定理。在深入讨论威尔逊定理之前，我们需要先回顾一些前置知识。
首先，我们来回顾一下基本的逆元概念。如果一个素数p，那么对于整数a模p的逆是它本身，只有当a等于1或p-1时成立。
接下来，威尔逊定理正式登场。如果p是一个素数，那么(p-1)!模p的结果等于p-1。这一定理描述了素数在阶乘后的特殊性质。
为了更好的理解威尔逊定理，我们先通过一个例子来验证一下。假设p=5，那么(5-1)!=4!=24。24模5的结果确实等于4，即p-1。这与威尔逊定理的描述相符。
威尔逊定理的证明涉及对所有小于p的整数的逆元分析。当p为素数时，对于所有整数a，a模p的逆是唯一的，且只能是a本身或p-a。将除了1和p-1之外的整数两两配对，每一对的乘积模p的结果都等于1。由此推导出(p-1)!模p的结果为p-1。
威尔逊定理不仅具有理论意义，它还提供了素数判断的一种方法。如果一个正整数n满足(n-1)!模n的结果等于n-1，那么n一定是素数。反之，如果n不是素数，则上述条件不成立。
最后，让我们回顾一下威尔逊定理在证明中的一个小定理。对于奇素数p，二次同余方程x^2模p有解当且仅当p-1等于2的幂次。这个定理利用了威尔逊定理以及费马小定理，证明了在奇素数p下，二次同余方程的解与p的性质紧密相关。
以上内容是威尔逊定理以及与之相关的前置知识和推论。在深入理解这些概念后，我们能够更好地运用威尔逊定理解决一些数论问题。
